Questões para o concurso de professores Colégio Pedro II

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1 Qustõs para o concurso d profssors Colégio Pdro II Profs Marilis, Andrzinho Fábio Prova Discursiva 1ª QUESTÃO Jhosy viaja com sua sposa, Paty, sua filha filho para a Rgião dos Lagos para curtir um friadão a) No mio do trajto dcidm parar num rstaurant para fazr uma rfição Todos possum o msmo modlo d aparlho clular no rstaurant, dixam os aparlhos guardados na bolsa d Paty Trminada a rfição, cada um pga na bolsa d Paty um aparlho clular ao acaso D quantas maniras isso pod sr fito, d modo qu ninguém pgu o próprio aparlho? b) Sguindo com a viagm, a probabilidad d congstionamnto na strada é d 60% Havndo congstionamnto, a probabilidad d os filhos do casal brigarm no carro é d 80%, sm congstionamnto, a briga pod aparcr com probabilidad d 40% Quando há briga, com ou sm congstionamnto, a probabilidad d Jhosy prdr a paciência com os filhos é d 0% Naturalmnt, havndo congstionamnto Jhosy pod prdr a paciência com os filhos msmo sm brigas o qu acontcria com probabilidad d 50% Quando não há nm congstionamnto, nm briga, Jhosy dirig tranquilo não prd a paciência Qual é a probabilidad d, no trcho considrado, tr havido briga, dado qu Jhosy prdu a paciência? 1

2 Qustõs para o concurso d profssors Colégio Pdro II Profs Marilis, Andrzinho Fábio Prova Discursiva RESOLUÇÃO: a) O númro d modos qu nnhum dos quatro mmbros da família pgu su próprio aparlho clular corrspond ao númro d prmutaçõs caóticas d 4 D 4 =4! ( 1 2! 1 3! + 1 4! ) =9 DIFICULDADE PRESUMIDA: Fácil ASSUNTO: Anális Combinatória b) O númro d casos possívis é: 0,60,80, + 0,60,20,5 + 0,40,40, + 0,40,60 = 0,508 O númro d casos favorávis é: 0,60,80, + 0,40,40, = 0,448 Portanto, a probabilidad pdida é P= 0,448 0, DIFICULDADE PRESUMIDA: Média ASSUNTO: Probabilidads 2

3 2 a QUESTÃO Qustõs para o concurso d profssors Colégio Pdro II Profs Marilis, Andrzinho Fábio Prova Discursiva No sólido rprsntado na figura abaixo, OA=a, OB=b, OC=c, M é o ponto médio d BD, a fac OBDC é um parallogramo, o ângulo formado por a b md 60º, c é ortogonal a a também a b, a = 2, b = 1 c = 4 a) Escrva AB AM m função d a, b c b) Calcul o ângulo formado por AB AM RESOLUÇÃO: a) AB= OA + OB= a+ b AM= AB+ BM= a+ b+ 1 2 c DIFICULDADE PRESUMIDA: Fácil b) AB ; AM = ( a+ b) ; ( a+ b+ 1 2 c ) a; a a; b 1 2 a; c b; a + b; b b; c a 2 + b 2 2 a; b 1 2 a; c b; c O vtor c é ortogonal aos vtors a b, ntão: a; c = b; c =0 a; b = a b cos 60, o qu implica a; b = =1 Assim, { AB 2 = a 2 + b 2 2 a b cos60 = =3 AB ; AM = =3 AM 2 = AB 2 + MB 2 =( 3) =3+4= Sja θ o ângulo ntr os vtors AB AM, ntão 3

4 Qustõs para o concurso d profssors Colégio Pdro II Profs Marilis, Andrzinho Fábio Prova Discursiva cosθ= AB ; AM AB AM = 3 3 = 21 Logo, θ=arc cos 21 DIFICULDADE PRESUMIDA: Média ASSUNTO: Vtors 4

5 Qustõs para o concurso d profssors Colégio Pdro II Profs Marilis, Andrzinho Fábio Prova Discursiva 3ª QUESTÃO A squência d Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, possui divrsas propridads intrssants, m consquência, a ncontramos m muitas aplicaçõs Há tanto a s dizr sobr ssa squência qu xist um priódico ddicado xclusivamnt aos númros qu la gra suas aplicaçõs propridads Podmos dfinir a squência d Fibonacci pla sguint rlação d rcorrência: F n +2 =F n+1 +F n, para todo natural n 0, com F 0 =F 1 =1, a qual é uma rcorrência linar d sgunda ordm com coficints constants a) Para cada rcorrência linar d sgunda ordm com coficints constants, da forma x n+2 + p x n+1 +q x n =0, q 0, associamos uma quação polinomial do sgundo grau r 2 + p r+q=0, chamada d quação caractrística Dcorr d um rsultado, já provado, qu s r 1 r 2 são as raízs da quação caractrística, ntão, a n =C 1 r 1 n +C 2 r 2 n é solução da rcorrência x n+2 + p x n+1 +q x n =0, quaisqur qu sjam os valors das constants C 1 C 2 Com bas nssas informaçõs, dtrmin o númro d Fibonacci F n b) Usando o Princípio da Indução Finita, mostr qu, para a squência dfinida por b 1 =1, b 2 =2 b n =b n 1 +b n 2, para n 3, val b n 4 ) n para n 1 5

6 Qustõs para o concurso d profssors Colégio Pdro II RESOLUÇÃO a) A rcorrência Então, Profs Marilis, Andrzinho Fábio Prova Discursiva F n +2 =F n+1 +F n F n =C 1 ( ) n +C 2 ( ) n, para n 0, tm quação caractrística r 2 r 1=0r= 1 ± 5 2 Para dtrminar Obtmos o sistma { C 1 +C 2 =1 C 1 C 1 ( ) +C 2( ) =1 C 2 basta usar F 0 =F 1 =1 Logo, C 1 = C 2 = Portanto, F n =( )( ) +( n )( ) n o qu implica F n = 5 5 ( ) n ( ) n+1 DIFICULDADE PRESUMIDA: Média ASSUNTO: Squências Equaçõs b) Sja P (n) a proposição: s b 1 =1, b 2 =2 b n =b n 1 +b n 2 para n 3, ntão b n 4 ) n, para n 1 P (n) é vrdadira para P (1 ), P (2 ) P (3 ) D fato: s n=1, tmos b 1 =1< 4 ; s s n=2, tmos b 2 =2= < = ( 4 ) 2 ; n=3, tmos b 3 =3= < = ( 4 ) 2 4 ) 3 6

7 Qustõs para o concurso d profssors Colégio Pdro II Profs Marilis, Andrzinho Fábio Prova Discursiva Suponhamos agora qu b k 4 ) k sja vrdadira para n=2,3,,k Dvmos mostrar qu b k +1 4 ) k +1 Podmos scrvr b k +1 =b k +b k 1 Como por hipóts, b k 4 ) k b k +1 4 ) k +1, tmos: b k +1 4 ) k + ( 4 ) k 1 = ( 1+ 4) ( 4 ) k 1 = 11 4 ( 4) k 1 Mas, 11 4 <3 4 ) 2 Assim, obtmos b k +1 4 ) 2 ( 4 ) k 1 = ( 4) k+1 Logo, plo Princípio da Indução Finita, tmos qu a proposição P (n ) é válida para n 1 DIFICULDADE PRESUMIDA: Difícil ASSUNTO: Princípio da Indução Finita

8 4ª QUESTÃO Sjam Qustõs para o concurso d profssors Colégio Pdro II f g f (t )= 1 t 2 g (t )= 2t 2 1+t 1+t 2 Profs Marilis, Andrzinho Fábio Prova Discursiva as funçõs rais d variávl ral dfinidas por Considr a aplicação F : IR ={(x; y)ir 2 /x 2 + y 2 =1(x; y) ( 1 ;0)}, dfinida por F (t )=(f (t ) ; g (t )) Essa aplicação é bijtora para todo t ral a) Considr o ponto Q( 1; 0) um ponto gnérico P(x; y) Cham d θ o ângulo qu o vtor QP faz com o ixo das abscissas ( θ srá considrado ngativo quando P stivr no smiplano infrior dfinido pla rta y=0 ) Sndo t=tg(θ), scrva x y m função d t b) Sndo α o ângulo trigonométrico qu o vtor OP faz com o ixo das abscissas, mostr qu cos (α ) sn (α ) são racionais smpr qu t for racional qu: cos (2θ )= 1 tg2 (θ ) 2tg (θ ) sn (2θ )= 1+tg 2 (θ ) tg 2 (θ)+1 8

9 Qustõs para o concurso d profssors Colégio Pdro II Profs Marilis, Andrzinho Fábio Prova Discursiva RESOLUÇÃO: a) Na mdida m qu t=tg(θ), tmos: Pla figura, tmos: t=tg (θ )= y 1+x x= y t 1 Substituindo na quação da circunfrência, tmos: ( y t 1 ) 2 + y 2 =1 y2 t 2 2 y t +1+ y2 =1 (t 2 +1) y 2 2 yt=0 y=0ou y= 2t 2 x= 1 ( 1 t não srv!) ou x= t t 2 Assim: x= 1 t 2 1+t 2 y= 2 t t 2 +1 DIFICULDADE PRESUMIDA: Média ASSUNTO: Trigonomtria Gomtria Analítica 9

10 Qustõs para o concurso d profssors Colégio Pdro II Profs Marilis, Andrzinho Fábio Prova Discursiva b) Obsrv a figura sguint: Tmos qu: x=cos (α ) cos (α )= 1 t2 1+t 2 y=sn (α ) sn (α )= 2t t 2 +1 Como t é racional, plo fato d 1 t 2 1+t 2 2t t 2 +1 Q sr um corpo, também são racionais: Vm daí qu cos (2θ )= 1 tg2 (θ ) 2tg (θ ) sn (2θ )= 1+tg 2 (θ ) tg 2 (θ)+1 DIFICULADADE PRESUMIDA: Difícil ASSUNTO: Trigonomtria Estruturas Algébricas dos Conjuntos Numéricos suas Propridads 10