Material Teórico - Módulo de Geometria Anaĺıtica 2. Círculos. Terceiro Ano - Médio

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1 Matrial Tórico - Módulo d Gomtria Anaĺıtica Círculos Trciro Ano - Médio Autor: Prof. Anglo Papa Nto Rvisor: Prof. Antonio Caminha M. Nto 9 d julho d 018

2 1 Equação rduzida d um círculo Considrmos um ponto O = (x 0, y 0 ) R um númro ral r > 0. Chamamos d círculo d cntro O raio r > 0, o conjunto C d todos os pontos P qu stão a uma distância r do ponto O. Figura 1: o círculo C d cntro O raio r. S P = (x, y) é um ponto do círculo C, ntão d(p, O) = r, ou sja, (x x0 ) + (y y 0 ) = r. Elvando ao quadrado ambos os mmbros dssa última igualdad, obtmos (x x 0 ) + (y y 0 ) = r. (1) Rciprocamnt, uma vz satisfita a igualdad acima, xtraindo raízs quadradas m ambos os mmbros da msma concluímos qu d(p, O) = r, isto é, qu P prtnc ao círculo C. Assim, (1) é condição ncssária suficint para qu o ponto P = (x, y) prtnça ao círculo C, d forma qu a dnominamos d quação rduzida do círculo. Exmplo 1. Encontr a quação rduzida do círculo d cntro (1, ) raio 3. Solução. Fazndo, m (1), as substituiçõs x 0 = 1, y 0 = r = 3, obtmos a quação rduzida (x 1) + (y ) = 3. Exmplo. Encontr a quação rduzida do círculo d cntro (1, 1), qu passa plo ponto (4, 5). Solução. Como já sabmos as coordnadas do cntro dss círculo, a fim d podr aplicar (1) basta qu ncontrmos su raio r. Para tanto, basta calcularmos a distância ntr um d sus pontos o cntro. Como o ponto (4, 5), prtncnt ao círculo, foi dado, tmos r = (4 1) + (5 1) = = 5 = 5. Logo, a quação rduzida dss círculo é (x 1) +(y 1) = 5. Exmplo 3. Encontr a quação rduzida do círculo qu passa plos pontos A = (1, 4), B = ( 1, 0) C = (5, ). Solução. Em gral, três pontos não colinars dtrminam um único círculo, xatamnt o círculo circunscrito ao triângulo cujos vértics são sss três pontos (vja a Figura ). Figura : o circuncntro O do triângulo ABC é o ponto d intrsção das mdiatrizs d sus lados. Para calcular as coordnadas do cntro do círculo, considrmos os pontos médios d dois dos três lados do triângulo, digamos o ponto médio M d BC o ponto médio N d AC. Já aprndmos qu as coordnadas do ponto médio d um sgmnto são as médias aritméticas das rspctivas coordnadas dos xtrmos dss sgmnto. Logo, ( M =, 0 + ) = (, 1) ( N =, 4 + ) = (3, 3). O coficint angular da rta qu passa por B C é m BC = 0 5 ( 1) = 6 = 1 3, 1 matmatica@obmp.org.br

3 nquanto o coficint angular da rta qu passa por C A é m CA = = 4 = 1. As rtas MO N O, sndo rspctivamnt prpndiculars às rtas não horizontais BC AC, têm coficints angulars m MO m NO tais qu m MO m BC = 1 m NO m AC = 1. Portanto, ( ) 1 m MO = 1 m MO = 3 3 ( m NO 1 ) = 1 m AC =. Assim, a quação da rta MO é y 1 = 3(x ) a quação da rta NO é y 3 = (x 3). Rsolvndo o sistma linar formado por ssas duas quaçõs, ncontramos as coordnadas d su ponto d intrsção O: { 3x + y = 7 x =, y = 1, x + y = 3 ou sja, O = (, 1). Por fim, para calcular o raio do círculo, basta calcular a distância d O a qualqur um dos pontos A, B ou C. Por xmplo, r = d(o, A) = (1 ) + (4 1) = 10. Concluímos, assim, qu a quação rduzida do círculo qu passa por A, B C é (x ) + (y 1) = 10. Equação gral d um círculo Obsrvando a quação rduzida do círculo com cntro (x 0, y 0 ) raio r, qual sja, (x x 0 ) + (y y 0 ) = r, podmos dsnvolvr os quadrados para obtr ou, ainda, x x 0 x + x 0 + y y 0 y + y 0 r = 0 x + y x 0 x y 0 y + x 0 + y 0 r = 0. () Em gral, s A, B, C, D, E F são númros rais dados, o conjunto dos pontos (x, y) do plano qu satisfazm a quação Ax + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0 (3) pod, ou não, sr um círculo. Por xmplo, apnas o par ordnado (x, y) = (0, 0) satisfaz a quação x + y = 0, nnhum par ordnado satisfaz a quação x + y + 1 = 0 (pois x +y +1 1 > 0) o conjunto dos pars ordnados qu satisfazm a quação x y = 0 é a união das duas rtas, d quaçõs y = x y = x. Comparando as quaçõs () (3), vmos qu, para qu (3) rprsnt um círculo, dvmos ncssariamnt tr, A = B 0 C = 0. Ralmnt, sndo st o caso, (3) tm o sguint aspcto: Ax + Ay + Dx + Ey + F = 0; (4) ntão, dividindo ambos os mmbros por A (qu é não nulo, por hipóts), obtmos x + y + D A x + E A y + F = 0. (5) A Msmo assim, a última quação acima ainda pod não rprsntar um círculo. Por xmplo, s D = E = 0 F = A, obtmos a quação x + y + 1 = 0, qu não é quação d um círculo, como já vimos antriormnt. O xmplo a sguir ilustra o método gral qu pod sr usado para chcar s uma quação da forma (3) rprsnta um círculo. Exmplo 4. Vrifiqu s a quação x + y x 6y = 0 rprsnta um círculo. Solução. As xprssõs x x + 1 y 6y + 9 são os trinômios quadrados prfitos, (x 1) (y 3), rspctivamnt. Assim, somando = 10 a ambos os mmbros da quação x + y x 6y = 0, obtmos x x+1+y 6y+9 = 10, ou sja, (x 1) +(y 3) = 10. Obviamnt, sta é a quação rduzida do círculo d cntro (1, 3) raio 10. O método usado no xmplo antrior é chamado compltamnto d quadrados, pois somamos constants à quação d modo a aparcrm trinômios quadrados prfitos. No qu sgu, vamos utilizar tal método para xaminar (5). Rtornando ao caso gral, podmos rscrvr a quação (5) como x + D A x + y + E A y + F = 0. (6) A Agora, obsrv qu x + D A x y + E Ay são as duas primiras parclas dos dsnvolvimntos dos quadrados ( ) (, x + D A y + A) E rspctivamnt; as parclas qu faltam são D 4A somando D 4A E + E 4A 4A, também rspctivamnt. Portanto, a ambos os mmbros d (6), obtmos x + D A x + D 4A + y + E A y + E 4A + F A = D 4A + E 4A matmatica@obmp.org.br

4 ou, ainda, ( x + A) D ( + y + E ) = D A 4A + E 4A F A Então, (5) quival a ( x + A) D ( + y + E ) = D + E 4AF A 4A. (7) Portanto, para qu a quação (3) rprsnt um círculo, é ncssário suficint qu A = B 0, C = 0 D +E 4AF > 0. Nst caso, o círculo tm cntro ( D A, A) E D + E 4AF raio r =. A Exmplo 5. Em cada caso abaixo, vrifiqu s a quação dada rprsnta um círculo. (a) x + 3y + x + y 4 = 0. (b) 3x 3y + 6x 1y + 15 = 0. (c) x + y + 3xy + x y + = 0. Solução. (a) Como A = 1 3 = B, a quação não rprsnta um círculo. (b) Nst caso, tmos A = B = 3, C = 0, D = 6, E = 1 F = 15. Logo, D + E 4AF = 6 + ( 1) 4 ( 3) 15 = 360 > 0, d sort qu a quação dada rprsnta o círculo d cntro ( D A, E A ) = (1, ) raio r = = 10. (c) Como C = 3 0 nst caso, a quação não rprsnta um círculo. 3 Potência d ponto m rlação a um círculo Ao longo dsta sção, dados pontos distintos X Y, usarmos XY, m vz d XY, para indicar o comprimnto com sinal do sgmnto XY. Mais prcisamnt, sndo r a rta qu passa por X Y, munindo r d uma orintação, isto é, um sntido positivo d prcurso, tmos XY positivo (rsp. ngativo), conform o sntido d X para Y concord (rsp. discord) do sntido positivo m r. Em particular, s X, Y, Z são pontos colinars ( dois a dois distintos), é imdiato vrificar qu o produto XY Y Z dos comprimntos com sinal dos sgmntos XY Y Z é ngativo s, somnt s, os sgmntos XY Y Z têm sntidos discordants. Fixados no plano um círculo C d cntro O raio r > 0 um ponto P, considrmos uma rta qu passa por P ncontra o círculo nos pontos A A, possivlmnt iguais (situação qu ocorr quando a smirrta tangncia C m A = A ). O produto P A P A (8) dos comprimntos com sinal dos sgmntos P A P A é chamado a potência do ponto P m rlação ao círculo C. S P prtnc ao círculo, ntão tal produto é smpr 0, uma vz qu A ou A coincidirão com P. Suponha, pois, qu P não prtnc ao círculo. Nosso objtivo é mostrar qu a potência d P m rlação a C stá bm dfinida, no sntido d não dpndr da scolha particular da rta qu passa por P intrscta C, mas apnas do ponto P do círculo C. Para tanto, obsrv os dois círculos da Figura 3. Figura 3: a potência do ponto P m rlação ao círculo C. Inicialmnt, vja qu s P é xtrior ao disco dlimitado plo círculo, ntão os sgmntos P A P A têm o msmo sntido, nquanto, s P é intrior a tal disco, ntão P A P A têm sntidos contrários. Logo, P A P A (, da msma forma, P B P B ) é positivo no primiro caso ngativo no sgundo. Por outro lado, já sabmos d studos antriors d Gomtria Euclidiana qu P A P A = P B P B. (Rcordando, tal igualdad sgu da smlhança d triângulos P A B P B A.) Portanto, como comprimntos 3 matmatica@obmp.org.br

5 com sinais, ainda tmos P A P A = P B P B. Rsumindo, os argumntos acima garantm qu a potência d P m rlação a C é um concito bm dfinido, sndo 0 para P sobr C, positiva para P xtrior ao disco dlimitado por C ngativa para P intrior a tal disco. S a rta qu passa por P ncontra o círculo C m apnas um ponto, ou sja, s la é tangnt ao círculo, ntão (Figura 4, acima), da smlhança ntr os triângulos P AT P T A, sgu qu P T = P A P A. Figura 4: os caso m qu a rta é tangnt ao círculo (acima) contém um diâmtro do círculo (abaixo). Sjam d = d(p, O) a distância do ponto P ao cntro O do círculo C r o raio d C. No caso m qu AA é um diâmtro do círculo C (Figura 4, abaixo), tmos P A P A = (d r)(d + r) = d r. (9) Uma vz qu a potência d um ponto P m rlação a um círculo C dpnd apnas d P d C, podmos usar a notação Pot(P, C) para dnotá-la. Em particular, Pot(P, C) = d r. (10) A anális do sinal d Pot(P, C) pod sr rfita aqui: P é xtrior ao disco dlimitado por C s, somnt s, d > r, s somnt s Pot(P, C) = d r > 0. Da msma forma, P é intrior ao disco dlimitado por C s, somnt s, Pot(P, C) < 0 P C s, somnt s, Pot(P, C) = 0. Voltando às coordnadas, s P = (x, y) O = (x 0, y 0 ), ntão a distância d = d(p, O), é dada por d = (x x0 ) + (y y 0 ), logo, a potência d P m rlação a C é dada por Pot(P, C) = (x x 0 ) + (y y 0 ) r. (11) Vamos usar a rlação acima para obtr um rsultado intrssant. Torma 6. O conjunto d todos os pontos do plano qu têm a msma potência m rlação a dois círculos não concêntricos é uma rta prpndicular à rta qu passa plos cntros dos círculos. Essa rta é chamada d ixo radical 1 dos dois círculos Prova. Sjam C 0 C 1 os dois círculos não concêntricos, com quaçõs rspctivamnt iguais a (x x 0 ) + (y y 0 ) = r0 (x x 1 ) + (y y 1 ) = r1. S P = (x, y), ntão Pot(P, C 0 ) = (x x 0 ) + (y y 0 ) r 0 Pot(P, C 1 ) = (x x 1 ) + (y y 1 ) r 1. A hipóts do torma nos diz qu Pot(P, C 0 ) = Pot(P, C 1 ), ou sja, (x x 0 ) + (y y 0 ) r 0 = (x x 1 ) + (y y 1 ) r 1 Dsnvolvndo os quadrados canclando os trmos comuns, obtmos =c 0 =c 1 {}}{{}}{ x 0 x y 0 y+ x 0 + y0 r0 = x 1 x y 1 y+ x 1 + y1 r1 ou, ainda, (x 1 x 0 )x + (y 1 y 0 )y = c 1 c 0 (1) Agora, como os círculos não são concêntricos, tmos x 0 x 1 ou y 0 y 1, d forma qu (1) rprsnta uma rta r. A partir daqui, considrmos dois casos sparadamnt: (i) y 0 = y 1 : os cntros dos dois círculos stão numa msma rta horizontal (1) s rsum a x = c1 c0 (x, qu é a 1 x 0) quação d uma rta vrtical. Então, nss caso o ixo radical é prpndicular à rta qu un os cntros dos círculos. 1 A palavra radical, nss contxto, firmou-s plo uso, mas provém d uma tradução rrada do Inglês, ond radical significa, nss contxto, raízs. Assim, o mais corrto sria chamarmos a rta-objto dss torma d ixo d raízs dos dois círculos. 4 matmatica@obmp.org.br

6 (ii) y 0 y 1 : os cntros dos dois círculos não stão numa msma rta horizontal r tm coficint angular m r = x 0 x 1. y 1 y 0 Por outro lado, a rta qu passa plos cntros (x 0, y 0 ) (x 1, y 1 ) dos círculos C 0 C 1, tm coficint angular m = y 1 y 0 x 1 x 0. Como o produto dsss coficints angulars é m m r = y 1 y 0 x0 x 1 = 1, x 1 x 0 y 1 y 0 tmos qu a rta r é prpndicular à rta qu passa plos cntros dos dois círculos. Rciprocamnt, s P = (x, y) é um ponto sobr a rta r, cuja quação é (1), somando x +y a ambos os mmbros robtmos a igualdad (x x 0 ) + (y y 0 ) r 0 = (x x 1 ) + (y y 1 ) r 1. Mas, por dfinição, a validad dssa igualdad significa qu as potências d P m rlação a C 0 C 1 são iguais. No caso m qu os círculos C 0 C 1 s intrsctam m pontos distintos A A, tmos Pot(A, C 0 ) = 0 = Pot(A, C 1 ) Pot(A, C 0 ) = 0 = Pot(A, C 1 ). Logo, A A prtncm ao ixo radical r, como são pontos distintos, r é a rta qu passa por A por A. S os dois círculos C 0 C 1 são tangnts, ntão o ixo radical, sndo prpndicular à rta qu passa plos cntros dos dois círculos, coincid com a rta tangnt comum aos dois círculos (uma vz qu o ponto d tangência dos dois círculos, por tr potência 0 m rlação a ambos, dv prtncr ao ixo radical). Exmplo 7. Encontr o lugar gométrico dos pontos a partir dos quais podmos traçar sgmntos tangnts iguais a dois círculos não concêntricos dados. Solução. S P T 1 P T são sgmntos tangnts aos círculos não concêntricos dados C 1 C, ntão a condição P T 1 = P T implica qu Pot(P, C 1 ) = P T 1 = P T = Pot(P, C ). Rciprocamnt, s P é xtrior aos discos dlimitados por C 1 C tm a msma potência m rlação a ambos, ntão P T 1 = P T. Isso significa qu o lugar gométrico, isto é, o conjunto formado por todos os pontos qu satisfazm a condição P T 1 = P T, é a porção do ixo radical dos dois círculos qu é xtrior a ambos. Exmplo 8. Quando a distância ntr os cntros d dois círculos é maior do qu a soma dos sus raios, xistm quatro tangnts T 1 V 1, T V, T 3 V 3 T 4 V 4, comuns aos dois círculos. Tais tangnts ncontram-s mostradas na Figura 5. Prov qu os pontos médios M 1, M, M 3 M 4 dos sgmntos T 1 V 1, T V, T 3 V 3 T 4 V 4 são pontos colinars. Figura 5: dois círculos com quatro tangnts comuns. Os pontos médios M 1, M, M 3 M 4 são colinars. Solução. Para cada i {1,, 3, 4}, a distância do ponto M i aos dois pontos d tangência T i V i é a msma. D acordo com o Exmplo 7, sss quatro pontos M 1, M, M 3 M 4 prtncm ao ixo radical dos dois círculos. Logo, sss quatro pontos são colinrars. Exmplo 9. Sjam C 1, C C 3 três círculos cujos cntros não são colinars. Prov qu xist um único ponto cuja potência m rlação aos três círculos é a msma. Ess ponto é chamado cntro radical dos três círculos. Solução. Sjam r 1 r 13 os ixos radicais rlativos aos círculos C 1 C, C 1 C 3, rspctivamnt (faça uma figura para acompanhar o argumnto a sguir). Como os cntros dos círculos não são colinars, as rtas r 1 r 13 não são parallas; logo, intrsctam-s m um ponto P. Agora, tmos: P r 1 Pot(P, C 1 ) = Pot(P, C ) P r 13 Pot(P, C 1 ) = Pot(P, C 3 ). A partir das duas igualdads acima, concluímos qu Pot(P, C ) = Pot(P, C 3 ). Assim sndo, P dv prtncr ao ixo radical r 3 dos círculos C C 3. O ponto P tm, portanto, a msma potência m rlação aos três círculos. Para muito mais sobr o matrial dsta sção, vja a rfrência []. Dicas para o Profssor Três ncontros d 50 minutos cada são suficints para cobrir o matrial dsta aula. Você dv nfatizar o método d compltamnto d quadrados, usado no Exmplo 4. As condiçõs para qu uma 5 matmatica@obmp.org.br

7 quação polinomial d sgundo grau m x y como (3) rprsnt um círculo podm sr usadas como no Exmplo 5 mas é intrssant qu, m sala, você smpr rsolva xrcícios similars plo método do compltamnto d quadrados, a fim d qu os studants o assimilm. O uso das quaçõs d círculos nos fornc uma dmonstração dirta do Torma 6. Você pod tntar pnsar, junto com sus alunos, m uma dmonstração dss torma qu não us coordnadas (vja a sugstão d litura complmntar [], p. 16). Sugstõs d Litura Complmntar 1. E. L. Lima t al. A Matmática do Ensino Médio, vol. 3. Colção do Profssor d Matmática, Editora S.B.M., Rio d Janiro, A. Caminha. Tópicos d Matmática Elmntar, vol.. Gomtria Euclidiana Plana. Colção do Profssor d Matmática, Editora S.B.M., Rio d Janiro, matmatica@obmp.org.br