1.1 O Círculo Trigonométrico

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1 Elmntos d Cálculo I - 06/ - Drivada das Funçõs Trigonométricas Logarítmicas Prof Carlos Albrto S Soars Funçõs Trigonométricas. O Círculo Trigonométrico Considrmos no plano a cirncunfrência d quação + =, isto é, a circunfrência d cntro (0, 0) raio. Dado um númro ral tomarmos sobr sta circunfrência o arco d comprimnto radianos tndo como origm o ponto (, 0). Convncionarmos smpr marcarmos o arco no sntido horário s for ngativo no sntido anti-horário s for positivo. Obsrv a figura a sguir. B >0 A - A <0 B ξ Como todos os arcos têm origm no ponto A, cada arco ficará dtrminado por sua trmidad, mas arcos qu difrm por númro d voltas compltas trão as msmas trmidads. Por mplo, os arcos 0, π, π todos possum trmidad no ponto A. Já os arcos π/, π/, 6π + π/ possum o ponto B como trmidad. Arcos qu difrm por um númro complto d voltas srão ditos arcos côngruos, isto é, dois arcos são ditos côngruos s ist um númro intiro k tal qu = kπ. Nstas notas starmos particulamnt intrssados nos arcos d primira volta, isto é, arcos tais qu 0 π.

2 Tal como no plano cartsiano, muitas vzs, nos rfrirmos a um arco como arco do primiro, sgundo, trciro ou quarto quadrant conform o quadrant ond sua trmidad stja. Emplo Os arcos π/, π/, π/6 são arcos do primiro quadrant. Já o arco π/ é um arco do sgundo quadrant, já qu π/ < π/ < π/. O arco = é um arco do primiro quadrant, pois sndo π >, trmos π/ > > 0.. As funçõs Sno Cossno Ao marcarmos um arco no círculo trigonométrico, sua trmidad srá um ponto ( 0, 0 ) sobr a circunfrência d cntro (0, 0) raio. Chamarmos sno d, indicado por sn(), ou sn, a ordnada do ponto ( 0, 0 ), ou sja, 0. Chamarmos, ainda, cossno d, indicado por cos(), ou cos, a abscissa do ponto ( 0, 0 ), ou sja, 0. Obsrv a rprsntação na figura a sguir. B (π/) sn() (π) A - cos() A(π) (π/) B É simpls obsrvar qu s um arco tm trmidad no primiro quadrant, trmos sn() > 0 cos() > 0. No sgundo quadrant, trmos, sn() > 0 cos() < 0. Já no trciro, trmos, sn() < 0 cos() < 0. No quarto quadrant, tmos sn() < 0 cos() > 0. Ficam assim dfinidas duas funçõs, cossno d (cos()) sno d (sn()), sndo qu cos() é uma função positiva no primiro quarto quadrants ngativa no sgundo trciro. Já a função sn() é positiva no primiro sgundo quadrants ngativa no trciro quarto. Vid figuras a sguir.

3 () () cos() B sn() B A - A A - A B B É simpls notar qu Para a função cossno, tmos, sn 0 = 0, sn π/ =, sn π = 0, sn π/ =, sn π = 0. cos 0 =, cos π/ = 0, cos π =, cos π/ = 0, sn π =. Não podríamos diar d mncionar o valor d tais funçõs nos chamados arcos notávis, isto é, sn π/6 = /, sn π/ = /, sn π/ = /. D manira análoga, para a função cossno, tmos cos π/6 = /, cos π/ = /, cos π/ = /. Abaio tmos os gráficos dstas funçõs. () () f()=cos() f()=sn() π π/ π π π/ π π/ π/ Obsrvação É simpls obsrvar plas figuras antriors qu s < são arcos do primiro quadrant, ntão tmos sn < sn cos > cos, isto é, ao maior arco corrspond o maior sno ao mnor arco corrspond o maior cossno.

4 Emplo Tmos π/ < < π/, portanto, < sn < < cos <. Tal como mncionado no início, stamos fazndo uma brv rvisão dstas funçõs visando, simplsmnt, introduzirmos suas drivadas. Iniciarmos admitindo o torma abaio. Torma As funçõs sno cossno são funçõs contínuas, isto é, sn = sn 0 cos = cos Além disso, s f é uma função tal qu 0 f() = l, ntão, tmos sn(f()) = sn l 0 cos(f()) = cos l. 0 Emplo 5 π sn = sn π = 0 π cos = cos π = 0 cos( + ) = cos 0 = Emplo 6 Dtrmin π cos π. Solução 7 Obsrv qu tmos o caso numro 0 0, já qu π cos = π π = 0. Obsrvando, ntão, os its latrais, tmos logo, π cos π. π + π cos π = cos π = Nosso objtivo principal é plorar o sguint torma: Torma 8 Sndo f() = sn g() = cos, trmos f () = g() g () = f(), isto é, (sn ) = cos (cos ) = sn. Drivada d sno é cossno drivada d cossno é -sno.

5 Emplo 9 Dtrmin f () sndo f() = sn(). Solução 0 Not qu, tmos, f() = sn() = sn(). Logo, usando a rgra da cadia, trmos f () = [(sn()) ].() = (cos() ). = cos(). Emplo Sndo f() = cos( ), dtrmin f (). Solução Tmos f() = cos(), novamnt, usando a rgra da cadia trmos f () = ( sn() ). = cos( ). Obsrvação Tal como fizmos nos mplos acima, sndo f uma função drivávl, trmos (sn f()) = (sn f()) = (cos f()).f () = f ()cos f() Logo, tmos, (cos f()) = (cos f()) = ( sn f()).f () = f ()sn f(). (sn f()) = f ()cos f() (cos f()) = f ()sn f(). Emplo Usando a obsrvação acima, tmos (sn( + )) = cos( + ) Emplo 5 Novamnt, usando a obsrvação antrior, tmos (cos( + sn())) = ( + cos())sn( + sn()) Emplo 6 Dtrmin 0 cos(). Solução 7 Tmos o caso 0 0, já qu 0 cos() = 0 0 = 0, sndo assim, podmos usar a rgra d L Hospital, isto é, tmos cos() 0 = 0 ( sn()) = 0 sn() = 0. Obsrvação 8 Lmbramos qu, sndo um arco tal qu kπ±π/(nsts arcos o cossno é zro!), dfinimos a tangnt d como tg = tg() = tan = sn cos. Not qu para drivarmos tal função basta usarmos a rgra do quaocint!. 5

6 . Ercícios. Esboçar o gráfico da função f() =. Dtrmin a drivada d cada função abaio. { sn, s 0 cos, s > 0. = sn 5. = cos. = sn cos. = (sn )cos 5. = tan 6. = sn 7. = cos 8. = sn 9. = sn 0. = cos.f() = sn.f() = cos( ).. Dtrmin as drivadas primira, sgunda, trcira quarta d cada função abaio. (a) = sn (b) = cos (c) = sn (d) = cos(t ). Considrando uma função d, us drivação implícita para ncontrar m cada rcício abaio. (a) = sn( ) (b)cos = + (c)sn = 0 (d) + (cos ) + 7 = 0 ()cos = sn + (f)cos( + ) + sn() = 5. Calcul os its abaio. sn sn (a) 0 (b) 0 sn (c) 0 sn a b (d) 0 sn a sn b () 0 tg (f) 0 tg a b (g) 0 cos 6. Calcul os its. (a) a cos cos a a (h) 0 tg +sn (b) 0 sn sn sn (i) 0 cos sn (c) 0 cos cos (d) 0 sn(+a) sn a cos(+a) cos a sn () 0 (f) π π (g) π cos π (h) sn (i) π cos cos sn 6

7 Funçõs Eponncial Logaritmo Natural. As funçõs suas Propridads Não nos procuparmos com dtalhs, mas é possívl mostrar qu os its 0 ( + ) ( + ) istm são iguais a um númro irracional cuja aproimação com as cinco primiras casas dcimais é dada por, 788. Em outras palavras, tmos Emplo 9 Dtrmin 0 ( + ) = ( + ) =. ( + ). Solução 0 Fazmos a mudança d variávl, =, isto é, = w. Not qu quando w tmos w. Logo, tmos ( + ) = ( + w w )w = ( ( + w w )w ) =. Dfinimos, agora, a função ponncial através da potnciação d númros rais. Dfinição Dfinimos a função ponncial como a função p : R R + dada por p() =. Bm ntndido, o domínio da função é o conjunto d todos os númros rais, mas é smpr um númro positivo indpndnt d. Dfinida a função ponncial, podmos dfinir a função logaritmo natural, qual sja: Dfinição Dfinimos a função logarítmo natural d como a função ln : R + R dada por = ln =, isto é, ln é o númro ao qual s dv lvar para obtr, ou ainda, ln =. 7

8 Bm ntndido, o domínio da função ln é o conjunto d todos os númros rais positivos, mas ln srá positivo s >, ngativo s 0 < < srá igual a zro s =. Abaio, tmos o sboço das funçõs. (f() = ) (f() = ln ) =^ 5 =ln() Emplo Dtrmin o domínio das funçõs: (a)f() = ln ( ) (b)g() = + Solução (a) Obsrv qu, sndo f() = ln ( ), dvmos tr > 0 ou, ainda, < ou >. Logo, domínio d f = { R; < ou > } =], [ ], [. (b)como + > 0 indpndnt d, o domínio d g srá todo o conjunto dos númros rais. Obsrvação 5 Dvido às propridads d potnciação d númros rais trmos ) + =. )ln () = ln + ln (, > 0) )ln p = p ln ( > 0) Nosso maior objtivo é plorar os dois tormas abaio. Torma 6 () As funçõs ln são funçõs contínuas m todos os pontos d su domínio, isto é, ln = ln 0 = () Tmos ainda, =, = 0, ln =, ln =. 0 + Além disso, s 0 f() = l, ntão, ln f() = ln l 0 f() = l. 0 8

9 Emplo 7 ( ) = ( ) = =. Estarmos particularmnt intrssados no sguint torma. Torma 8 ) A drivada da função f() = é a própria função, isto é, ( ) =, R. ) A drivada da função f() = ln é a função f() =, isto é, (ln ) =, R+. Emplo 9 Dtrmin a drivada das funçõs (a)f() = ln ( + ) (b)f() = + Solução 0 (a)f() = ln ( + ) daí f () = ( ( + )). = + (b) f() = ( + ) daí f () = ( ( + )).( + ) = ( + ) +. Obsrvação Tal como fizmos nos mplos antriors, podmos usar a rgra da cadia para drivarmos funçõs do tipo f() ln (f()). Trmos ( f() ) = ( f()) = ( f())f () = f () f() (ln f()) = (ln f()) = ( f())f () = f (), ou sja, s f é uma função drivávl f() as funçõs a sguir stão bm dfinidas, trmos (ln f()) = f () f() ( f() ) = f (). f(). Emplo Dtrmin f () sndo (a) f() = sn (b) f() = ln ( + ) Solução (a) Usando dirtamnt a obsrvação acima, trmos f () = (cos ) sn. (b) Usando, novamnt, a obsrvação acima, trmos f () = + + 9

10 . Ercícios. Calcul os its abaio. (a) 0 ln ( + ) (b) ln + + (c) + ln (d) ln () + 0. Dtrmin domínio a drivada d cada função abaio. (f) 0 + ln (a)f() = + (b)f() = ln + (c)f() = sn (d)f() = ln ()f() = cos (f)f() = ( + )ln. Dtrmin a quação da rta tangnt ao gráfico d f() = ln no ponto d abscissa =.. Sndo f() = (), dtrmin: (a) Os númros tais qu f () > 0 (b) Os númros tais qu f () < 0 5. Supondo uma função d, dtrmin sndo: (a) + + ln ( + ) = (b) + + ln () = + 6. Calcul os its abaio: (a) 0 n + (b) n m (c) 0 cos cos p cos q (d) 0, p q () p q 0 (f) 0 sn sn (g) sn π (h) 0 cos sn (i) n n 0

11 Rspostas dos Ercícios Subsção. ) ).5cos 5. sn.cos + sn.cos 5. cos 6.sn + cos 7.cos sn 8.cos 9.sn 0. sn. cos.cos + sn ) (a) = cos ; = ; = ; () = (b) = sn ; = ; = ; () = (c) = cos ; = 9; = 9 ; () = 8 (d) = sn (t ); = 9; = 9 ; () ) (a) cos ( ) (b) +cos ( ) +sn (c) cos () cos +sn (d) sn cos + cos sn (+) (f) sn (+) cos 5) (a)/ (b) (c)a/b (d)a/b ()/ (f)a/b (g)0 (h) (i)/

12 6) (a) (b) (c)5/ (d)cos a () sn a (f)0 (g) (h) π (i) Subsção.. (a)0 (b) ln / (c) (d) () (f). (a)d = R; + + (b)d =] [ ], [; (c)d = R; (cos ) sn (d)d =], [; ()D = R; cos sn (f)d =]0, [; ln + +. ln = ( + ln ( ). (a) > 0 (b) < 0 5. (a) = + ln (+) (b) = (a)/n (b)0, s /n > /m s /n < /m (c) (d) q p ()p q (f) (g) π (h) (i)n n