ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Ficha d rvisão nº 5 ª Part. Para um crto valor d a para um crto valor d b a prssão ( ) gráfico stá parcialmnt rprsntado na figura. Qual das afirmaçõs sguints é vrdadira? (A) a> 0 b> 0 (B) a> 0 b< 0 a< 0 b> 0 (D) a< 0 b< 0 f = a+ dfin a função f cujo b. Indiqu o conjunto dos númros rais qu são solução da + inquação < 0 (A) ], [ (B) ], [ (C) ],[ (D) ], + [ 3. Considr as sguints funçõs: f: {,,3} {,,3} dfinida pla tabla g: dfinida por g( ) = + h: [ 0,] {,,3} cujo gráfico é Indiqu o valor d f ( ) + ( g h)( ) (A) (B) 5 (C) 6 (D) 7. Considr a função f, d domínio, dfinida por f( ) = Sja t a rcta tangnt ao gráfico d f no ponto d abcissa Qual é a inclinação da rcta t? (A) 30º (B) 5º (C) 35º (D) 50º 5. Na figura stão rprsntados dois vctors, AD AE, d normas 5, rspctivamnt. No sgmnto d rcta [AD] stá assinalado um ponto B. No sgmnto d rcta [AE] stá assinalado um ponto C. Profssora: Rosa Canlas

2 O triângulo [ABC] é rctângulo os sus lados têm 3,, 5 unidads d comprimnto. Indiqu o valor do produto scalar AD AE (A) 08 (B) 8 (C) 3 (D) 6. Indiqu as soluçõs da quação 5+ cos = 6 qu prtncm ao intrvalo [ 0,π ] (A) π π 3 3 (B) π 5π 3 3 (C) π 7π 6 6 (D) π π 6 6 ª Part. Considr, m rfrncial o. n. Oyz, o ponto P(0,,3).. Sja α o plano qu contém o ponto P é prpndicular à rcta d quação vctorial (, y,z) = ( 0,, 3) + k (,0, ),k Dtrmin a ára da scção produzida plo plano α na sfra dfinida + + y + z 3 pla condição ( ) ( ) ( ) Sugr-s qu: Dtrmin uma quação do plano α. Mostr qu o cntro da sfra prtnc ao plano α. Atndndo ao ponto antrior, dtrmin a ára da scção... Admita qu um ponto Q s dsloca ao longo do smiio positivo Oz, nunca coincidindo com a origm O do rfrncial. Sja f a função qu faz corrspondr, à cota z do ponto Q, o prímtro do triângulo [OPQ].... Mostr qu f( z) = z+ 5+ z 6z Sm rcorrr à calculadora, dtrmin a cota do ponto Q d modo qu o prímtro do triângulo [OPQ] sja igual a 6.. Considra a função f, d domínio I \{ }, dfinida por f() = Sm rcorrr à calculadora, dtrmina o conjunto dos númros rais tais qu f() ;.. O gráfico da função f tm duas assímptotas. Escrv as suas quaçõs..3. Dtrmina os intrvalos d monotonia d f.. Sja r uma rcta tangnt ao gráfico da função no ponto d abcissa Dtrmina uma quação cartsiana da rcta r.... Calcular o valor acto da prssão sn α π + cos( α 7π) inclinação da rcta r. 5 sabndo qu α é a Profssora: Rosa Canlas

3 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Ficha d rvisão nº 5 Proposta d rsolução ª Part. (B) Para um crto valor d a para um crto valor d b a prssão f( ) = a+ dfin a função f cujo gráfico stá parcialmnt b rprsntado na figura. Sndo y = a = b as assímptotas horizontal vrtical rspctivamnt srá a > 0 b< 0. (D) O conjunto dos númros rais qu são solução da inquação + < 0 são todos os númros rais d ], + [ porqu + < 0 < 0 porqu + > 0 m < 0 < > 3. (C) Considrmos as sguints funçõs: f: {,,3} {,,3} dfinida pla tabla g: dfinida por g( ) = + h: [ 0,] {,,3} cujo gráfico é O valor d f ( ) ( g h)( ) + é 6 porqu: ( ) = dado qu ( ) f 3 ( )( ) ( ) f 3 = ( ) () g h = g h = g = + = 3. (C) Considrmos a função f, d domínio, dfinida por f( ) =. Sja t a rcta tangnt ao gráfico d f no ponto d abcissa. Para ncontrar a inclinação α da rcta t vamos calcular o dcliv sabndo qu m= f' m= tgα Logo tgα= α º Q α= 35º. Ora f' ( ) = f' = 5. (D) Na figura stão rprsntados dois vctors, AD AE, d normas 5, rspctivamnt. No sgmnto d rcta [AD] stá assinalado um ponto B. No sgmnto d rcta [AE] stá assinalado um ponto C. Profssora: Rosa Canlas

4 O triângulo [ABC] é rctângulo os sus lados têm 3, 5 unidads d comprimnto. O valor do produto scalar AD AE é dado por: AD AE = AD AE cos( AD,AE) = 5 = 5 6. (B) Para indicarmos as soluçõs da quação 5+ cos = 6 qu prtncm ao intrvalo [ 0,π ], vamos rsolvê-la: π 5π 5+ cos = 6 cos = cos = = = 3 3 ª Part. Considr, m rfrncial o. n. Oyz, o ponto P(0,,3).. Sja α o plano qu contém o ponto P é prpndicular à rcta d quação vctorial (, y,z) = ( 0,, 3) + k (,0, ),k Dtrminmos a ára da scção produzida plo plano α na sfra + + y + z 3 dfinida pla condição ( ) ( ) ( ) Vamos: Dtrminar uma quação do plano α. Como (, 0, ) são as coordnadas d um vctor normal ao plano a quação srá + z = D qu substituindo as variávis plas coordnadas do ponto P ficará 0+ 3 = D D= 6 Uma quação do plano é + z = 6 Mostrmos qu o cntro da sfra prtnc ao plano α. O cntro da sfra é o ponto d coordnadas (,, ), substituindo na quação do plano fica + = 6 6= 6 o qu prova qu o cntro da sfra prtnc ao plano. Atndndo ao ponto antrior, a scção é um círculo d cntro no cntro da sfra raio 3 como o da sfra, a ára da scção é ntão A = π ( 3) A = 3π.. Admitamos qu um ponto Q s dsloca ao longo do smiio positivo Oz, nunca coincidindo com a origm O do rfrncial. Sja f a função qu faz corrspondr, à cota z do ponto Q, o prímtro do triângulo [OPQ].... Mostrmos qu f( z) = z+ 5+ z 6z+ 5, considrando qu Q0,0,z ( ), vamos calcular: OP = 3 + OP = 5 OP = 5 OQ = z ( ) QP = + z 3 QP = 6 + z 6z + 9 QP = z 6z + 5 Finalmnt o prímtro é f( z) = z+ 5+ z 6z+ 5 Profssora: Rosa Canlas

5 ... Sm rcorrr à calculadora, dtrminmos a cota do ponto Q d modo qu o prímtro do triângulo [OPQ] sja igual a 6: z 6z + 5 = z + z 6z = 96 z = 6 6 = z z 6z + 5 z 6z + 5 = z. Considra a função f, d domínio I \{ }, dfinida por f() = Sm rcorrr à calculadora, dtrminmos o conjunto dos númros rais tais qu f() ; , ND +.. O gráfico da função f tm duas assímptotas. Uma vrtical d quação = uma horizontal d quação y = 3.3. f é dcrscnt m ], [ m ], + [.. Sja r uma rcta tangnt ao gráfico da função no ponto d abcissa Para dtrminarmos uma quação cartsiana da rcta r vamos: Calcular a drivada da função f' ( ) = ( + ) Calcular f' ( 0) = 7 Calcular f( 0) = 3+ = 7 Equação da rcta y = + 5 sabndo qu α é a inclinação da rcta r, comçamos por vr qu sabmos sr tgα= prtndmos calcular 5 π sn α π + cos( α 7π) = sn α + cos( α π ) = cosα cosα = cosα... Para calcularmos o valor acto da prssão sn α π + cos( α 7π) Profssora: Rosa Canlas

6 D + tg α = rsulta qu cos α = cos α 6 = cos α α = 7 α = 7 α = 7 cos cos cos Plo qu 5 sn α π + cos α 7π ( ) = cosα= = 7 7 Profssora: Rosa Canlas