ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR A =

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1 Instituto Suprior Técnico Dpartamnto d Matmática Scção d Álgbra Anális ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES Formas canónicas d Jordan () Para cada uma das matrizs A sguints, dtrmin uma forma canónica d Jordan J, uma matriz d mudança d bas S tal qu A SJS (a) (b) A A (c) A 3 (d) A Rsolução: (a) A matriz A é um bloco d Jordan, portanto J A S (b) Os valors próprios da matriz são as soluçõs d dt(a λi) ( λ) + 4 λ ± i Conclui-s qu uma forma canónica d Jordan d A é + i J i a Os vctors próprios associados a + i são os vctors qu vrificam b i a ia b i b Uma bas do spaço próprio d + i é constituída plo vctor v i a Os vctors próprios associados a i são os vctors qu vrificam b i a ia b i b Uma bas do spaço próprio d i é constituída plo vctor v i Portanto uma matriz d mudança d bas qu põ A m forma canónica é S i i

2 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 (c) Os valors próprios da matriz são as soluçõs da quação 3 λ λ λ 4λ + 4 (λ ) Logo A tm apnas um valor próprio, λ Uma vz qu a matriz não é igual a I (ond I é a matriz idntidad), o spaço próprio tm ncssariamnt dimnsão portanto a forma canónica d Jordan d A é J Os vctors próprios d A são os qu vrificam (A I)v, ou sja a b a b Uma bas dos vctors próprios é formada, por xmplo, plo vctor v Um vctor próprio gnralizado é um vctor w qu satisfaz (A I)w v Podmos tomar, por xmplo, w Conclui-s qu uma matriz d mudança d bas qu põ A m forma canónica é S (d) Os valors próprios da matriz são as soluçõs da quação λ λ λ λ( λ)( λ) + ( λ) ( λ)( λ( λ) + ) ( λ)( λ) ( λ) 3 Logo A tm apnas um valor próprio, λ Os vctors próprios são os qu vrificam a b c b a c Uma bas do spaço próprio é constituída plos vctors v v qu s obtivram fazndo a, b a, b, rspctivamnt Conclui-s qu uma forma canónica d Jordan d A é J

3 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 3 Falta achar um vctor próprio gnralizado corrspondnt à trcira coluna d J Ess vctor srá uma solução d (A I)w v ond v é um vctor próprio corrspondnt ao valor próprio qu gra o spaço das colunas da matriz (A I) Uma vz qu A I, o spaço das colunas é grado por v + v Assim, procura-s uma solução d Toma-s, por xmplo, (A I)w v + v w Portanto, uma matriz d mudança d bas qu põ A m forma canónica é S ond a primira coluna é o vctor próprio v, a sgunda coluna é o vctor próprio v + v a trcira coluna é o vctor próprio gnralizado w associado a v + v Para cada uma das matrizs A sguints, dtrmin uma forma canónica d Jordan J, uma matriz d mudança d bas S tal qu A SJS (a) A (b) A 6 4 () (c) A 3 (d) A 3 () A 3 (f) A

4 4 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 Exponncial d Matrizs (3) Para cada uma das matrizs A sguints, dtrmin At (a) (b) π A A π (c) () A A (d) A 4 5 Rsolução: (a) A xponncial d uma matriz diagonal, At, é a matriz diagonal cujas ntradas são as usuais xponnciais scalars das ntradas corrspondnts m At Dst modo, At πt πt (b) Os valors próprios d A são dados por ( λ) λ λ λ ou λ Os vctors próprios associados ao valor próprio são dados por a a b b Os vctors próprios associados ao valor próprio são dados por a a b b Portanto, At t t }{{}}{{} S S + t + t + t + t (c) A matriz A tm apnas um valor próprio, λ, o qual tm um spaço próprio d dimnsão Um vctor próprio é uma solução d (A I)v, isto é, v Por xmplo pod-s tomar v,

5 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 5 Um vctor próprio gnralizado w, obtém-s rsolvndo a quação (A I)w v, isto é, w v Por xmplo, pod-s tomar w, Rlativamnt, à bas (v, w), a transformação linar rprsntada por A é dada por um bloco d Jordan, J, para o valor próprio, ou sja, A } {{ } S } {{ } J } {{ } S Logo, a xponncial é At t t S t t S t t t t }{{} Jt Comntário: Notando qu A é um bloco d Jordan para o valor próprio, podias, m altrnativa, calcular At t t t t avaliar m t (d) Os valors próprios d A são dados por (4 λ)( λ) + λ λ + λ ± i Os vctors próprios (complxos) associados ao valor próprio λ + i são dados por 3 i 5 a b i 3 3 i b 5 a Os vctors próprios para o valor próprio i são dados por 3 + i 5 a b 3 i a 3 + i b 5 Portanto, At t i i 5 } {{ } S (+i)t ( i)t ( it + it ) 3i( it it ) i( it it ) cos t + 3 sin t t 5 sin t 3i +3i 5i 5i } {{ } S 5i( it it ) ( it + it )+3i( it it ) sin t cos t 3 sin t

6 6 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 Comntário: S λ é valor próprio complxo da matriz ral A com o vctor próprio v, ntão o su complxo conjugado também é valor próprio d A o vctor complxo conjugado d v é um vctor próprio corrspondnt: Av λv Av λv A v λ v Esta obsrvação prmit simplificar cálculos () A matriz é um bloco d Jordan 3 por 3 At 5t t5t t 5t 5t t 5t 5t Sistmas d Equaçõs Linars (4) Considr a matriz A (a) Quais são os valors próprios d A? (b) Quais são os vctors próprios d A? (c) Dtrmin uma matriz d mudança d bas, S, qu diagonaliza A, dtrmin a sua invrsa, S (d) Calcul At () Dtrmin a solução do sguint problma d valor inicial: ẏ y y () 5 A com ẏ y y () 7 (f) Dtrmin a solução gral da sguint quação difrncial: ẏ y A ẏ y (g) Escrva duas funçõs y : R R qu constituam uma bas do spaço vctorial das soluçõs da quação da aĺına antrior Rsolução: (a) Os valors próprios são os zros do polinómio caractrístico: p(λ) df dt(a λi) ( λ) 4 p(λ) λ λ 3 λ ou λ 3 Os valors próprios d A são - 3 (b) Um vctor v é vctor próprio d A associado ao valor próprio λ s só s Av λv, a ou sja, s só s (A λi)v Em componnts, scrv-s v b Equação para os vctors próprios associados ao valor próprio : a a b b Os vctors próprios associados ao valor próprio λ são a v com a R a

7 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 7 Equação para os vctors próprios associados ao valor próprio 3: a a b b Os vctors próprios associados ao valor próprio λ 3 são a v com a R a (c) Mudando para uma bas d vctors próprios d A, a transformação linar fica diagonal Tom-s, por xmplo, a matriz d mudança d bas S cujas colunas são vctors próprios d A associados aos valors próprios - 3 A mudança invrsa é Então tm-s S A S 3 (d) D acordo com a aĺına antrior, At t S 3t S S t + 3t t + 3t () A solução do problma d valor inicial dado é y(t) At y () y () t + 3t t + 3t t + 6 3t t + 6 3t t + 3t t + 3t (f) A solução gral da quação difrncial dada é t c y(t) S 3t c c t + c 3t c t + c 3t t + 3t t + 3t 5 7, t R, t R ond c, c R (g) Compõ-s uma bas para o spaço vctorial das soluçõs da quação da aĺına antrior com as colunas da matriz t S 3t t 3t t 3t, ou sja, com as funçõs x : R R x : R R dadas por t 3t x (t) t x (t) 3t

8 8 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 D facto, x (t) x (t) são funçõs linarmnt indpndnts qualqur solução y(t) da quação da aĺına antrior é da forma y(t) c x (t) + c x (t) para algum c R algum c R (5) Considr a matriz A 3 (a) Calcul At (b) Dtrmin a solução do sguint problma d valor inicial ẏ y y () A com ẏ y y () (c) Dtrmin a solução gral da sguint quação difrncial { ẏ 3y +y + t ẏ y +y Rsolução: (a) Os valors próprios d A são dados por (3 λ)( λ) + λ 4λ + 4 λ Os vctors próprios associados ao valor próprio são dados por a a b b Como quaisqur dois vctors próprios são linarmnt dpndnts, scolh-s um vctor próprio, por xmplo, v, procura-s um vctor próprio gnralizado, w: a (A λi)w v b a + b Por xmplo, w é vctor próprio gnralizado Portanto, At }{{} S t t t t ( + t) t t t t t ( t) t } {{ } S

9 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 9 (b) A solução do problma d valor inicial é dada por: y(t) At y() ( + t) t t t t t ( t) t t t t R (c) Esta quação difrncial pod sr scrita matricialmnt na sguint forma: ẏ y t A + b(t) ond b(t) ẏ y A sua solução gral é dada pla fórmula d variação das constants: y(t) At c + t A(t s) b(s) ds ( + t) t t t c t t ( t) t c + t ( + t s) (t s) (t s) (t s) (t s) (t s) t c ( + t) + c t c t + c ( t) t ond c, c R ( t + s) (t s) + t t c ( + t) + c t + t + t c t + c ( t) t + t s t + s, t R, s ds ds (6) Considr a matriz A 5 3 (a) Calcul At (b) Dtrmin a solução do sguint problma d valor inicial ẏ y y () A + ẏ y 4t com y () (7) Considr a matriz A 7 (a) Calcul At (b) Dtrmin a solução do sguint problma d valor inicial ẏ y 3t y () A + com ẏ y y ()

10 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 (8) Considr a quação difrncial ẏ ẏ ẏ 3 ẏ 4 ẏ ond as ntradas omitidas na matriz são zros (a) Dtrmin a solução d ( ) com condição inicial y y y 3 y 4 y 5 ( ) y () y (), y 3 () y 4 () y 5 () (b) Dtrmin a solução d ( ) com condição inicial y (), y () y 3 () y 4 () y 5 () (c) Dtrmin o conjunto d todas as condiçõs iniciais, y R 5, tais qu as corrspondnts soluçõs do problma d valor inicial { ( ) y() y são limitadas Rsolução: Sja A a matriz dos coficints A solução d um problma d valor inicial é quação ( ) com y(t ) y y(t) At y t R Para calcular a xponncial da matriz At aprovitam-s os cálculos do xrcício 3 aĺınas (b) (d): 4 5 S A, ntão cos t + 3 sin t At t 5 sin t sin t cos t 3 sin t S A, ntão Como tm-s qu A t A t + t At A A t (a) A solução d ( ) com condição inicial t t t + A A t, y () y (), y 3 () y 4 () y 5 ()

11 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 é y(t) At t (b) A solução d ( ) com condição inicial y (), y () y 3 () y 4 () y 5 () é y(t) At t cos t + 3 sin t sin t (c) A solução d um problma d valor inicial quação ( ) com y() a a a 3 a 4 a 5 R5 é t cos t + 3 t sin t t sin t y(t) 5 t sin t t cos t 3 t sin t t t + t A xponncial At nvolv as sguints funçõs lmntars t t + a a a 3 a 4 a 5 t cos t, t sin t, t,, t A única função limitada dsta lista é a constant Para qu uma solução sja limitada, as condiçõs iniciais, y(), dvm sr tais qu todas as outras funçõs não aparçam Logo, trá qu sr a a a 3 a 4 a 5 O conjunto d todas as condiçõs iniciais tais qu as corrspondnts soluçõs do problma d valor inicial são limitadas é y() a : a R a

12 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 (9) Considr o sistma d quaçõs difrnciais ẏ (sin t)y + cos t ( ) ẏ sin t cos t y + (cos t)y + 3t sin t (a) Dtrmin a solução gral do sistma homogéno associado: ẏ (sin t)y ẏ sin t cos t y + (cos t)y (b) Dtrmin a solução gral d ( ) (c) Dtrmin a solução d ( ) com condição inicial: y () y () Rsolução: (a) O sistma homogéno pod sr rsolvido m duas tapas Primiro rsolv-s a primira quação Para y, ẏ (sin t)y ẏ y sin t ẏ y dt sin t dt + c y dy cos t + c ln y cos t + c y (t) k cos t ond k > y (t) k cos t ond k Quando y s anula, tm-s qu y (t), t R, também é solução Logo, a solução gral da primira quação é y (t) k cos t, t R, ond k R D sguida, substitui-s a xprssão gral para y na sgunda quação rsolv-s para obtr y : ẏ sin t cos t ( k cos t) + (cos t)y k sin t + (cos t) y }{{} a(t) Esta quação linar admit o factor d intgração a(t) dt sin t Mutiplicada por sin t, a quação fica sin t ẏ (cos t) sin t y k d dt ( sin t y ) k sin t y k t + k y (t) (k t + k ) sin t

13 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 3 A solução gral do sistma homogéno é: y (t) k cos t y (t) (k t + k ) sin t, t R ond k, k R (b) A solução gral d ( ) pod sr obtida a partir da solução gral do sistma homogéno pla fórmula d variação das constants: y (t) y (t) c Y (t) + c t Y (t)y (s) cos s 3s sin s ds, ond Y (t) é uma solução matricial fundamntal do sistma homogéno Obtém-s uma tal matriz Y (t) tomando para colunas soluçõs linarmnt indpndnts do sistma homogéno, como por xmplo Y (t) cos t sin t t sin t ond s fixou k, k para a primira coluna k, k para a sgunda Com sta scolha, a invrsa d Y (s) é Y (s) cos s+sin s s sin s cos s sin s Assim, a solução gral d ( ) é y (t) y (t) cos t sin t t sin t + cos t sin t t sin t c cos t c sin t + c t sin t c cos t c sin t + c t sin t c c t (c + t) cos t (c + c t + t ) sin t + + cos s+sin s cos t sin t t sin t cos t sin t t sin t s sin s cos s sin s t t t s cos s ds, t R, ond c, c R 3s sin s ds (c) A solução dst problma d valor inicial pod sr obtida a partir da solução gral do sistma homogéno pla fórmula d variação das constants: y (t) y (t) Y (t)y () y () y () + t Y (t)y (s) cos s 3s sin s ds,

14 4 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 ond Y (t) é uma solução matricial fundamntal do sistma homogéno, como por xmplo a utilizada na aĺına antrior Fazndo os cálculos, y (t) cos t t cos t y (t) sin t t sin t + t sin t cos t t sin t ( + t) cos t ( t + t ) sin t t cos t + t sin t t R () Rsolva o sguint problma d valor inicial: dy dt y + t com y() 3 t Rsolução: Comça-s por rsolvr a sgunda quação scalar qu dá y : A solução é dy dt y com y () y (t), t R Substituindo y, rsolv-s agora a trcira quação scalar qu dá y 3 : A solução é y 3 (t) dy 3 dt 3y 3 + t com y 3 () t 3(t s) s ds 3t t, t R Finalmnt, substitui-s y 3 rsolv-s a primira quação scalar qu dá y : A solução é y (t) dy dt y + 3t com y () t (t s) 3s ds 3t t, t R O problma d valor inicial dado tm a sguint solução: y y 3t t, t R y 3 3t t Comntário: Em altrnativa, pod-s calcular a xponncial da matriz dos coficints aplicar a fórmula d variação das constants para sistmas d quaçõs linars

15 () Suponha qu as funçõs t + t t, AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 5 t + 3t 3t, 3t t 3t 3t 3t são três soluçõs y(t) da quação ẏ Ay Dtrmin os valors próprios d A Justifiqu Rsolução: Pla fórmula d variação das constants, as soluçõs d sistmas linars d quaçõs d primira ordm homogénas, ẏ Ay, são combinaçõs linars d xponnciais multiplicadas por potências d t da forma t k λt, ond λ é um valor próprio complxo da matriz dos coficints, A As três funçõs dadas nvolvm as xponnciais t, t 3t o sistma d quaçõs é 3 por 3 Logo, os valors próprios d A são, 3 Equaçõs d Ordm Suprior à Primira () Considr a quação difrncial scalar y () + y cos t (a) Dtrmin a solução gral da quação homogéna associada a ( ) (b) Dtrmin uma solução particular d ( ) (c) Dtrmin a solução gral d ( ) ( ) Rsolução: (a) A quação homogéna associada a ( ) é O su polinómio caractrístico, tm as sguints raízs: y () + y (D + )y p(λ) λ +, p(λ) λ ±i A solução gral complxa da quação homogéna é pois y(t) k it + k it ond k, k C A solução gral (ral) da quação homogéna é y(t) c cos t + c sin t t R t R ond c, c R Comntário: A solução gral ral obtém-s xtraindo as parts ral imaginária da solução gral complxa, usando a fórmula d Eulr: it cos t + i sin t Rorganiza-s rbaptiza-s as constants para simplificar a xprssão final Convém fazr o xrcício d passagm da solução gral complxa para a solução gral ral

16 6 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 (b) Adopta-s o método dos coficints indtrminados: A função cos t é aniquilada plo oprador difrncial D + S y(t) for solução particular d ( ), i, (D + )y cos t, ntão, aplicando D + a ambos os mmbros, fica (D + )(D + )y (D + ) cos t Vai-s procurar uma solução particular d ( ) ntr a solução gral da quação homogéna (D + ) y a qual é dada por y(t) c cos t + c sin t }{{} +c 3t cos t + c 4 t sin t Os dois primiros trmos, sobr a chavta, são solução da quação homogéna associada a ( ), logo não adiantam na psquisa d uma solução particular da quação nãohomogéna ( ) Para ncontrar uma solução particular, substitui-s y(t) c 3 t cos t+ c 4 t sin t m ( ) dtrmina-s os coficints c 3 c 4 : (D + )(c 3 t cos t + c 4 t sin t) cos t c 3 sin t + c 4 cos t cos t c 3 c 4 Conclui-s qu uma solução particular d ( ) é, por xmplo, y(t) t sin t para qualqur t R (c) Como s trata d uma quação linar, a solução gral d ( ) é da forma { } { } solução particular solução gral da quação + d ( ) homogéna associada a ( ) Assim, a solução gral d ( ) é ond c, c R y(t) t sin t + c cos t + c sin t t R (3) Dtrmin a solução gral d cada uma das sguints quaçõs difrnciais scalars (a) y (3) + ẏ, (b) y (3) + ẏ t, (c) y (3) + ẏ t t, (d) y (3) + ẏ, () y (3) + ẏ + cos t, (f) y (3) + ẏ t cos t

17 Rsolução: (a) Esta quação pod sr scrita O su polinómio caractrístico, tm as raízs AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 7 (D 3 + D)y p(λ) λ 3 + λ, p(λ) λ ou λ ±i A solução gral complxa da quação homogéna é pois y(t) k + k it + k it, t R, ond k, k, k C A solução gral (ral) da quação homogéna é y(t) c + c cos t + c sin t, t R, ond c, c, c R Comntário: A solução gral ral obtém-s xtraindo as parts ral imaginária da solução gral complxa, usando a fórmula d Eulr: it cos t + i sin t Rorganiza-s rbaptiza-s as constants para simplificar a xprssão final Rcomndas o xrcício d passagm da solução gral complxa para a solução gral ral (b) Como s trata d uma quação linar, a solução gral é da forma { } solução gral da quação { solução particular } + homogéna associada Para dtrminar uma solução particular, adopta-s o método dos coficints indtrminados A função t é aniquilada plo oprador difrncial D S y(t) for solução particular da quação dada, i, D(D + )y t, ntão, aplicando D a ambos os mmbros, fica (D )D(D + )y (D ) t Assim, vai-s procurar uma solução particular ntr a solução gral da quação homogéna (D )D(D + )y a qual é dada por y(t) c + c cos t + c sin t }{{} +c 3 t Os três primiros trmos, sobr a chavta, são solução da quação homogéna associada, logo não adiantam na psquisa d uma solução particular da quação nãohomogéna Para ncontrar uma solução particular, substitui-s y(t) c 3 t na quação dtrmina-s o coficint c 3 : D(D + )(c 3 t ) t c 3 t t c 3

18 8 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 Uma solução particular é, por xmplo, y(t) t para qualqur t R Conclui-s qu a solução gral dsta quação é y(t) c + c cos t + c sin t + t, t R (c) Como s trata d uma quação linar, a solução gral d é da forma { } solução gral da quação { solução particular } + homogéna associada Para dtrminar uma solução particular, adopta-s o método dos coficints indtrminados A função t t é aniquilada plo oprador difrncial (D ) S y(t) for solução particular da quação dada, i, D(D + )y t t, ntão, aplicando (D ) a ambos os mmbros, fica (D ) D(D + )y (D ) t Assim, vai-s procurar uma solução particular ntr a solução gral da quação homogéna (D ) D(D + )y a qual é dada por y(t) c + c cos t + c sin t }{{} +c 3 t + c 4 t t Os três primiros trmos, sobr a chavta, são solução da quação homogéna associada, logo não adiantam na psquisa d uma solução particular da quação nãohomogéna Para ncontrar uma solução particular, substitui-s y(t) c 3 t + c 4 t t na quação dtrmina-s os coficints c 3 c 4 : D(D + )(c 3 t + c 4 t t ) t t c 3 t + 4c 4 t + c 4 t t t t c 3 + 4c 4 c 4 c 3 c 4 Uma solução particular é, por xmplo, y(t) t + tt para qualqur t R Conclui-s qu a solução gral dsta quação é y(t) c + c cos t + c sin t + t + tt, t R (d) Como s trata d uma quação linar, a solução gral d é da forma { } solução gral da quação { solução particular } + homogéna associada Para dtrminar uma solução particular, adopta-s o método dos coficints indtrminados A função é aniquilada plo oprador difrncial D S y(t) for solução particular da quação dada, i, D(D + )y, ntão, aplicando D a ambos os mmbros, fica D (D + )y D Assim, vai-s procurar uma solução particular ntr a solução gral da quação homogéna D (D + )y

19 a qual é dada por AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 9 y(t) c + c cos t + c sin t }{{} +c 3t Os três primiros trmos, sobr a chavta, são solução da quação homogéna associada, logo não adiantam na psquisa d uma solução particular da quação nãohomogéna Para ncontrar uma solução particular, substitui-s y(t) c 3 t na quação dtrmina-s o coficint c 3 : D(D + )(c 3 t) c 3 Uma solução particular é, por xmplo, y(t) t para qualqur t R Conclui-s qu a solução gral dsta quação é y(t) c + c cos t + c sin t + t, t R () Como s trata d uma quação linar, a solução gral d é da forma { } solução gral da quação { solução particular } + homogéna associada Para dtrminar uma solução particular, adopta-s o método dos coficints indtrminados A função +cos t é aniquilada plo oprador difrncial D(D +), porqu D aniquila D + aniquila cos t S y(t) for solução particular da quação dada, i, D(D + )y + cos t, ntão, aplicando D(D + ) a ambos os mmbros, fica D (D + ) y D(D + )( + cos t) Assim, vai-s procurar uma solução particular ntr a solução gral da quação homogéna D (D + ) y a qual é dada por y(t) c + c cos t + c sin t }{{} +c 3t + c 4 t cos t + c 5 t sin t Os três primiros trmos, sobr a chavta, são solução da quação homogéna associada, logo não adiantam na psquisa d uma solução particular da quação nãohomogéna Para ncontrar uma solução particular, substitui-s y(t) c 3 t+c 4 t cos t+ c 5 t sin t na quação dtrmina-s os coficints c 3, c 4 c 5 : D(D + )(c 3 t + c 4 t cos t + c 5 t sin t) + cos t c 3 c 4 cos t c 5 sin t + cos t c 3 c 4 c 5 Uma solução particular é, por xmplo, y(t) t t cos t para qualqur t R Conclui-s qu a solução gral dsta quação é y(t) c + c cos t + c sin t + t t cos t, t R (f) Basta ncontrar uma solução particular para a quação A função t cos t é aniquilada plo oprador difrncial (D ) + Assim, uma solução particular da quação srá uma solução da quação homogéna D(D + ) ( (D ) + ) y A solução gral dsta quação é dada por y(t) c + c cos t + c sin t + c 3 t cos t + c 4 t sin t

20 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 Os três primiros trmos são soluçõs da quação homogéna inicial por isso podmos fazr c c c Tndo m conta qu qu (D + ) ( t cos t ) 4 t cos t 4 t sin t (D + ) ( t sin st ) 4 t cos t + 4 t sin t, substituindo c 3 t cos t + c 4 t sin t na quação, obtém-s (D + )D(c 3 t cos t + c 4 t sin t) t cos t (D + ) ( (c 3 + c 4 ) t cos t + (c 4 c 3 ) t sin t ) t cos t (4(c 3 + c 4 ) + 4(c 4 c 3 )) t cos t + (4(c 4 c 3 ) 4(c 3 + c 4 )) t sin t t cos t { 4c3 + c 4 4c 4 c 3 { c3 4 c Logo, y(t) 4 t cos t t sin t é uma solução particular Conclui-s qu a solução gral é y(t) c t + c cos t + c sin t + 4 t cos t t sin t, t R (4) Dtrmin a solução gral d cada uma das sguints quaçõs difrnciais (a) y (3) + y () + ẏ + y ; (b) y (3) + y () + ẏ + y + t sin t ; (c) y () ẏ y t ; (d) y (3) πy () + π ẏ π 3 t ; () y (3) y () + ẏ t cos t (5) Dtrmin a solução do sguint problma d valor inicial: { y (3) + ẏ t y(), ẏ(), y () () Rsolução: Pla aĺına (b) do xrcício 3, a solução gral da quação difrncial é y(t) c + c cos t + c sin t + t t R

21 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 As drivadas dsta solução são ẏ(t) c sin t + c cos t + t y () (t) c cos t c sin t + t A condição inicial impõ qu y() c + c + ẏ() c + dond s conclui qu y () () c + c, c c Logo, a solução dst problma d valor inicial é y(t) + sin t + t, t R (6) Dtrmin a solução da quação linar scalar y (3) + y () + ẏ b(t) qu vrifica as condiçõs iniciais y() ẏ(), y () (), quando (a) b(t), t R; (b) b(t) t, t R; (c) b(t) t, t R Rsolução: (a) A quação homogéna pod sr scrita (D 3 + D + D)y ou sja D(D + ) y cuja solução gral é y(t) c + c t + c t t t R ond c, c, c R As drivadas dsta solução são: No valor inicial tm-s A condição inicial impõ qu c + c c + c c c Logo, a solução do problma é ẏ(t) c t + c t c t t y () (t) c t c t + c t t y() c + c ẏ() c + c y () () c c c c c y(t) t t t t R

22 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 (b) A solução gral d uma quação linar não homogéna pod sr obtida somando uma solução particular à solução gral da quação homogéna associada Para obtr uma solução particular da quação com b(t) t, aplica-s o método dos coficints indtrminados: t é solução d D y ; s y é solução d (D 3 + D + D)y t, ntão D (D 3 + D + D)y D t ; procura-s uma solução particular da quação dada ntr a solução gral da quação homogéna, D (D 3 + D + D)y ou sja D 3 (D + ) y, qu é y(t) c + c t + c t t }{{} +c 3t + c 4 t ; os trmos sobr a chavta constitum a solução gral da quação homogéna, logo não adiantam na busca d uma soluçãoparticular da quação não homogéna; toma-s como candidata para solução particular uma função da forma y(t) c 3 t + c 4 t a qual tm as sguints drivadas ẏ(t) c 3 + c 4 t y () (t) c 4 y (3) (t) ; os coficints c 3 c 4 dtrminam-s substituindo na quação: Obtv-s a solução particular y (3) + y () + ẏ t + 4c 4 + c 3 + c 4 t t 4c 4 + c 3 c 4 c 3 c 4 y(t) t + t t R A solução gral da quação difrncial dada é y(t) t + }{{ t + c + c t + c t }}{{ t } sol particular sol gral da q hom ond c, c, c R As drivadas dsta solução são: ẏ(t) + t c t + c t c t t y () (t) + c t c t + c t t No valor inicial tm-s y() c + c ẏ() c + c y () () + c c A condição inicial impõ qu c + c c + c + c c t R c 4 c 4 c

23 Logo, a solução do problma é AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 3 y(t) t + t t t t t R (c) A solução gral d uma quação linar não homogéna pod sr obtida somando uma solução particular à solução gral da quação homogéna associada Para obtr uma solução particular da quação com b(t) t, aplica-s o método dos coficints indtrminados: t é solução d (D )y ; s y é solução d (D 3 + D + D)y t, ntão (D )(D 3 + D + D)y (D ) t ; procura-s uma solução particular da quação dada ntr a solução gral da quação homogéna, ou sja (D )(D 3 + D + D)y (D )D(D + ) y, qu é y(t) c + c t + c t }{{ t } +c 3 t ; os trmos sobr a chavta constitum a solução gral da quação homogéna, logo não adiantam na busca d uma soluçãoparticular da quação não homogéna; toma-s como candidata para solução particular uma função da forma y(t) c 3 t qu tm as sguints drivadas ẏ(t) y () (t) y (3) (t) c 3 t ; o coficint c 3 dtrmina-s substituindo na quação: Obtv-s a solução particular y (3) + y () + ẏ t (c 3 + c 3 + c 3 ) t t c 3 4 y(t) 4 t, t R A solução gral da quação difrncial dada é y(t) 4 }{{} t + c + c t + c t }{{ t } sol part sol gral da q hom ond c, c, c R As drivadas dsta solução são: No valor inicial tm-s t R ẏ(t) 4 t c t + c t c t t y () (t) 4 t + c t c t + c t t y() 4 + c + c ẏ() 4 c + c y () () 4 + c c

24 4 AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 A condição inicial impõ qu 4 + c + c 4 c + c 4 + c c Logo, a solução do problma é c c 4 c y(t) 4 t 4 t t t t R (7) Dtrmin a solução do sguint problma d valor inicial { y (3) y () + ẏ 4 + t y(), ẏ(), y () () (8) Considr a quação difrncial scalar y (4) + y (3) + y () + ẏ (a) Dtrmin a sua solução gral (b) Dtrmin para qu condiçõs iniciais m t é qu os problmas d valor inicial corrspondnts têm solução convrgnt quando t + Rsolução: (a) O polinómio caractrístico da quação é cuja factorização m monómios é Comntário: raiz - p(λ) λ 4 + λ 3 + λ + λ p(λ) λ(λ + )(λ i)(λ + i) Para chgar a sta factorização, rpara-s na raiz adivinha-s a A solução gral (ral) da quação é ond c, c, c 3, c 4 R y(t) c + c t + c 3 cos t + c 4 sin t t R (b) Para qu uma solução sja convrgnt quando t +, la não pod nvolvr as funçõs cos t nm sin t Procuram-s ntão as condiçõs iniciais m t qu implicam qu c 3 c 4 sjam Uma vz qu y(t) c + c t + c 3 cos t + c 4 sin t ẏ(t) c t c 3 sin t + c 4 cos t y () (t) c t c 3 cos t c 4 sin t y (3) (t) c t + c 3 sin t c 4 cos t os valors m t são y() c + c + c 3 ẏ() c + c 4 y () () c c 3 y (3) () c c 4

25 dond sai qu AMIV FICHA SUPLEMENTAR 4 5 c y() + ẏ() y () () + y (3) () c (ẏ() + y(3) ()) c 3 (ẏ() + y(3) ()) y () () c 4 (ẏ() y(3) ()) Para qu a solução do problma d valor inicial sja convrgnt quando t +, trá qu sr (ẏ() + y(3) ()) y () () (ẏ() y(3) ()) ou sja, ẏ() y () () y (3) () O conjunto d todas as condiçõs iniciais tais qu as corrspondnts soluçõs do problma d valor inicial são convrgnts quando t + é {(y(), ẏ(), y () (), y (3) ()) (a, b, b, b) : a, b R}