Mat.Semana 6. Alex Amaral (Rodrigo Molinari)

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1 Alex Amaral (Rodrigo Molinari) Semana 6 Este conteúdo pertence ao Descomplica. Está vedada a cópia ou a reprodução não autorizada previamente e por escrito. Todos os direitos reservados.

2 CRONOGRAMA 09/03 Função Afim: Gráfico e estudo do sinal 10/03 Função Quadrática: Definição e fórmula quadrática 16/03 Função Quadrática: Máximos ou mínimos, gráfico 17/03 Equações e Inequações de 1º e 2º graus

3 23/03 Exercícios de Revisão: Matemática Básica, Conjuntos e Funções Polinomiais 24/03 Revisão de potenciação e Função Exponencial 30/03 Módulo e equação modular 31/03 Função Modular

4 24 Revisão de mar potenciação e função exponencial 01. Resumo 02. Exercícios de Aula 03. Exercícios de Casa 04. Questão Contexto

5 RESUMO Potenciação é a multiplicação de fatores iguais representado por an onde a é a base e n é o expoente e indica a quantidades de fatores que serão multiplicados (nesse caso n fatores). Exemplo: 4³ = = 64. As propriedades básicas da potenciação são: Função exponencial A função exponencial é representada por y = ax onde a é um número a>0 e a 1. Caso a>1 a função é crescente e positiva o domínio da função são os Reais e a imagem os Reais positivos ( ) a m. a n = a m+n Exemplo: 2³. 2² = 25 a m : a n = a m-n Exemplo: 34 : 3²= 3² (a m ) n = a mn Exemplo: (2³)² = 26 (a. b) m = a m. b m Exemplo: (2. 4)² = 2². 4² m a a = b b a 0 = 1 1 m = 1 m m Exemplo: 3 3 = Caso 0<a<1 a função é descrescente, positiva o domínio da função são os Reais e a imagem os Reais positivos ( ) A função não toca o eixo x pois não existe solução 0 = ax a -m = 1 a m n n a = a m m Exemplo: = 2 Exemplo: EXERCÍCIOS DE AULA = Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v 0.2 0,2t, em que v 0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ ,00, determine o valor que ela foi comprada. 103 a) maior que b) igual a c) entre e d) entre e e menor que Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente?

6 a) 3 doses. b) 4 doses. c) 6 doses. d) 8 doses. e) 10 doses. 3. A torre de Hanói é um jogo que tem o objetivo de mover todos os discos de uma haste para outra, utilizando o menor número possível de movimento, respeitando-se as regras. Disponível em: realidadevirtual.com.br. Acesso em: 28 abr (adaptado). Disponível em: imeusp.br. Acesso em: 28 abr (adaptado). As regras são: 1- um disco maior não pode ser colocado sobre um disco menor; 2- pode-se mover um único disco por vez; 3- um disco deve estar sempre em uma das três hastes ou em movimento. Usando a torre de Hanói e baseando-se nas regras do jogo, podemos montar uma tabela entre o número de peças (X) e o número mínimo de movimentos (Y): 104 A relação entre (X) e (Y) é a) Y = 2x 1 b) Y = 2 x-1 c) Y = 2x d) Y = 2x 1 e) Y = 2x 4

7 4. Seja f(x) = a + 2 bx + c, em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semirreta ] 1, [ e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0, 3/4). Então, o produto abc vale: a) 4 b) 2 c) 0 d) 2 e) 4 5. Considere a equação 2 x + m.2 (2-x) - 2m - 2 = 0, onde m é um número real. a)resolva essa equação para m=1 b) Encontre todos os valores de m para os quais a equação tem uma única raiz real. EXERCÍCIOS PARA CASA 1. Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é dada pela função q(t) = q 0. 2 (-0,1)t sendo q 0 a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. Em quantos meses a quantidade de água do reservatório se reduzirá à metade do que era no início? a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria estuda a relação entre medidas de diferentes partes do corpo humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da superfície corporal de uma pessoa relaciona-se com a massa m pela fórmula A = k m 2/3, em que k é uma constante positiva. Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo sua massa é multiplicada por 8, por quanto será multiplicada a área da superfície corporal? a) 3 16 b) 4 c) 24 d) 8 e) 64

8 3. A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos. 106 Suponha que o modelo exponencial y = 363 e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e Desse modo, considerando e 0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre a) 490 e 510 milhões. b) 550 e 620 milhões. c) 780 e 800 milhões. d) 810 e 860 milhões. e) 870 e 910 milhões. 4. Um computador desvaloriza-se exponencialmente em função do tempo, de modo que seu valor y, daqui a x anos, será y = A. k x, em que A e k sã o constantes positivas. Se hoje o computador vale R$ 5000,00 e valerá a metade desse valor daqui a 2 anos, seu valor daqui a 6 anos será: a) R$ 625,00 b) R$ 550,00 c) R$ 575,00 d) R$ 600,00 e) R$ 650,00

9 5. Há exatamente um ano, José iniciou uma criação de coelhos e, durante este período, o número de coelhos duplicou a cada 3 meses. Hoje, preocupado com a falta de espaço para os coelhos, José vai vender parte dessa criação, de modo que apenas a quantidade inicial fique com ele. Se N0 denota a quantidade inicial de coelhos, então a quantidade a ser vendida é? 6. O gráfico abaixo representa a função f: R -> R cuja lei é f(x) = a+b.2, sendo a e b constantes positivas. 107 a) Determine a e b. b) Qual é o conjunto imagem de f? c) Calcule f(-2). 7. Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: F(t) = a 2 -bt, onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes. a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t = 0) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial. b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial? c) Esboce o gráfico da função F(t) para t [0, 40] 8. Um imóvel perde 36% do valor de venda a cada dois anos. O valor V(t) desse imóvel em t anos pode ser obtido por meio da fórmula a seguir, na qual V0 corresponde ao seu valor atual. V(t) = V 0 x (0,64) t/2 Admitindo que o valor de venda atual do imóvel seja igual a 50 mil reais, calcule seu valor de venda daqui a três anos.

10 QUESTÃO CONTEXTO Verão traz de volta em Salvador a preocupação com doença do beijo A alta estação na Bahia não se constitui apenas de calor e praias, mas também de uma grande quantidade de festas, principalmente na capital. E são nestas festas que reside a preocupação de muitos profissionais de saúde, principalmente com as doenças facilmente transmitidas entre elas a Mononucleose Infecciosa, conhecida popularmente como doença do beijo. com.br/2017/01/23/veraotraz-de-volta-em-salvadorpreocupacao-com-doencado-beijo Causada pelo vírus Epstein-Barr, que pertence ao Grupo Herpes, a doença tem baixa mortalidade e letalidade, mas pode se manifestar de forma aguda com sintomas como febre, inapetência, dores de cabeça e de garganta, fadiga, mal estar, sudorese, perda de apetite, inchaço nos gânglios e até alterações no fígado e baço. Em adultos, os sintomas chegam a durar até oito semanas. Neste período, o tratamento se resume em combater os sintomas com antitérmicos, analgésicos, anti-inflamatórios e bastante repouso. O governo de Salvador está esperando durante o verão uma quantidade de pessoas calculada pela função f(x)=f(0).2 x, onde f(0) é a população local, e x é a quantidade de dias e f(x) é o número de pessoas na cidade. Sabe-se que quando a população de pessoas na cidade for 64 vezes maior que a população local será necessário intensificar os alertas sobre as doenças. Depois de quantos dias será necessário aumentar os alertas? 108

11 GABARITO 01. Exercícios para aula 1. a 2. b 3. a 4. a 5. a) S = {1} b) S = {m R; m 0 ou m = 1} 03. Questão contexto x = Exercícios para casa 1. e 2. b 3. e 4. a 5. a)a=1 b=2 b) Im={y / y>1} c)3/2 6. R$230,49 7. a) a = 1024 e b = 1/10 b) t = 30 anos c) R$25600,00