ENEM a) 0,00. b) 0,25. c) 0,50. d) 0,75. e) 1,00. Resolução

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1 ENEM A tabela abaixo indica a posição relativa de quatro times de futebol na classificação geral de um torneio, em dois anos consecutivos. O símbolo significa que o time indicado na linha ficou, no ano de 2004, à frente do indicado na coluna. O símbolo * significa que o time indicado na linha ficou, no ano de 2005, à frente do indicado na coluna. A probabilidade de que um desses quatro times, escolhido ao acaso, tenha obtido a mesma classificação no torneio, em 2004 e 2005, é igual a a) 0,00. b) 0,25. c) 0,50. d) 0,75. e) 1,00. Vamos interpretar a tabela, referente ao ano de ª linha: o time A não ficou na frente de ninguém (ficou em último lugar); 2ª linha: o time B ficou na frente de A, C e D. Portanto, B ficou em 1º lugar (a frente de todos os times); 3ª linha: o time C ficou na frente apenas de A (ficou em 3º lugar); 4ª linha: o time D ficou na frente de A e C (ficou em 2º lugar). Assim sendo, a classificação em 2004 foi: 1º lugar B 2º lugar D 3º lugar C 4º lugar A Agora vamos ver como ficou no ano de ª linha: o time A ficou na frente de D (3º lugar); 2ª linha: o time B ficou na frente de A e D (2º lugar); 3ª linha: o time C ficou na frente apenas de A, B e D (1º lugar); 4ª linha: o time D não ficou na frente de ninguém (último lugar). Assim sendo, a classificação em 2005 foi: 1º lugar C 2º lugar B 3º lugar A 4º lugar D 1

2 Podemos ver que nenhum time repetiu a classificação nos anos de 2004 e Logo, a probabilidade é nula (igual a zero). 02. Um time de futebol amador ganhou uma taça ao vencer um campeonato. Os jogadores decidiram que o prêmio seria guardado na casa de um deles. Todos quiseram guardar a taça em suas casas. Na discussão para se decidir com quem ficaria o troféu, travou-se o seguinte diálogo: Pedro, camisa 6: Tive uma ideia. Nós somos 11 jogadores e nossas camisas estão numeradas de 2 a 12. Tenho dois dados com as faces numeradas de 1 a 6. Se eu jogar os dois dados, a soma dos números das faces que ficarem para cima pode variar de 2 (1 + 1) até 12 (6 + 6). Vamos jogar os dados, e quem tiver a camisa com o número do resultado vai guardar a taça. Tadeu, camisa 2: Não sei não... Pedro sempre foi muito esperto... Acho que ele está levando alguma vantagem nessa proposta... Ricardo, camisa 12: Pensando bem... Você pode estar certo, pois, conhecendo o Pedro, é capaz que ele tenha mais chances de ganhar que nós dois juntos... Desse diálogo conclui-se que a) Tadeu e Ricardo estavam equivocados, pois a probabilidade de ganhar a guarda da taça era a mesma para todos. b) Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, juntos, tinham mais chances de ganhar a guarda da taça do que Pedro. c) Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, juntos, tinham a mesma chance que Pedro de ganhar a guarda da taça. d) Tadeu e Ricardo tinham razão, pois os dois juntos tinham menos chances de ganhar a guarda da taça do que Pedro. e) não é possível saber qual dos jogadores tinha razão, por se tratar de um resultado probabilístico, que depende exclusivamente da sorte. Vamos determinar o número total de possibilidades e o número total de eventos favoráveis, e nº de eventos favoráveis depois, aplicar a fórmula P(A) = nº total de possibilidades. Como são 2 dados, temos 6 x 6 = 36 possibilidades para o sorteio. Veja a tabela abaixo: O jogador Tadeu, com a camisa número 2, seria sorteado apenas se os dois dados ficarem com a face 1 para cima (na tabela acima na cor azul). 1 A probabilidade dele ser sorteado é P(T). 36 Analogamente, o jogador Ricardo, com a camisa número12, seria sorteado apenas se os dois dados ficarem com a face 6 para cima (na tabela acima na cor verde). 1 A probabilidade dele ser sorteado é P(R). 36 2

3 A probabilidade do Tadeu ou Ricardo levar a taça é a soma de cada um deles, ou seja, O jogador Pedro, que possui camisa número 6, levará a taça para a casa, se ocorrer 5 situações: 1 e 5, 2 e 4, 3 e 3, 4 e 2, 5 e 1 (em vermelho, na tabela acima). Logo, a sua chance é 5 36 Podemos concluir que a alternativa correta é a letra d, pois as chances de Pedro são maiores que as de Tadeu e Ricardo juntos. 03. Nos últimos anos, ocorreu redução gradativa da taxa de crescimento populacional em quase todos os continentes. A seguir, são apresentados dados relativos aos países mais populosos em 2000 e também as projeções para P(P) Com base nas informações acima, é correto afirmar que, no período de 2000 a 2050, a) a taxa de crescimento populacional da China será negativa. b) a população do Brasil duplicará. c) a taxa de crescimento da população da Indonésia será menor que a dos EUA. d) a população do Paquistão crescerá mais de 100%. e) a China será o país com a maior taxa de crescimento populacional do mundo. 3

4 Interpretando os gráficos, podemos constatar que em 2000 o Brasil ficou em 5º lugar com uma população de 170 milhões de habitantes, não figurando o Paquistão. Para o ano de 2050, é projetado para o Paquistão uma população de 344 milhões de habitantes. Ora, se o Brasil tinha 170 milhões de habitantes e ficou em 5º lugar, o Paquistão deveria ter, em 2000, menos do que 170 milhões de habitantes. Logo, o crescimento projetado para 2050 do Paquistão é mais do que o dobro. Portanto, a alternativa correta é a letra D, que diz que a população de Paquistão crescerá mais que 100%. 04. Nos últimos anos, ocorreu redução gradativa da taxa de crescimento populacional em quase todos os continentes. A seguir, são apresentados dados relativos aos países mais populosos em 2000 e também as projeções para Com base nas informações dos gráficos mostrados, suponha que, no período , a taxa de crescimento populacional da Índia seja a mesma projetada para o período Sendo assim, no início do século XXII, a população da Índia, em bilhões de habitantes, será a) inferior a 2,0. b) superior a 2,0 e inferior a 2,1. c) superior a 2,1 e inferior a 2,2. d) superior a 2,2 e inferior a 2,3. e) superior a 2,3. 4

5 Inicialmente, vamos verificar percentualmente, a taxa de crescimento da população da Índia no período , aplicando uma regra de três: População (em milhões) Percentual % x x 156% 1572 x 1008 Portanto, houve um crescimento de 56 %. Para o período , a população da Índia deverá ser de: ,56 = 2452 milhões = 2,4 bilhões de habitantes, aproximadamente. Logo, a Índia deverá ter mais de 2,3 bilhões de pessoas em Os gráficos 1 e 2 a seguir mostram, em milhões de reais, o total do valor das vendas que uma empresa realizou em cada mês, nos anos de 2004 e Como mostra o gráfico 1, durante o ano de 2004, houve, em cada mês, crescimento das vendas em relação ao mês anterior. A diretoria dessa empresa, porém, considerou muito lento o ritmo de crescimento naquele ano. Por isso, estabeleceu como meta mensal para o ano de 2005 o crescimento das vendas em ritmo mais acelerado que o de Pela análise do gráfico 2, conclui-se que a meta para 2005 foi atingida em a) janeiro, fevereiro e outubro. b) fevereiro, março e junho. c) março, maio e agosto. d) abril, agosto e novembro. e) julho, setembro e dezembro. 5

6 A taxa de crescimento das vendas no gráfico 1, representa o coeficiente angular desta reta. O cálculo desta taxa de crescimento pode ser obtido através da fórmula: ya y a B, em que a é a taxa de crescimento, (x A, y A) são coordenadas do ponto A e (x B, y B) xa xb são coordenadas do ponto B( veja gráfico abaixo). 6,2 B A 1 12 Portanto, dados A(1, 5) e B(12;6,2), temos: y y 5 6,2 a A B 0,1 xa xb 1 12 No gráfico 2, podemos ver que a variação (taxa de crescimento) é maior que 0,1, durante (importante salientar isso) os meses de abril, agosto e novembro. OBS.: Para responder esta pergunta, não precisamos calcular a taxa de crescimento do gráfico 1. Basta observarmos em que meses os segmentos de reta do gráfico 2 possuem uma inclinação mais acentuado, se compararmos com a reta do gráfico 1. 6

7 06. Uma cooperativa de radiotáxis tem como meta atender, em no máximo 15 minutos, a pelo menos 95% das chamadas que recebe. O controle dessa meta é feito ininterruptamente por um funcionário que utiliza um equipamento de rádio para monitoramento. A cada 100 chamadas, ele registra o número acumulado de chamadas que não foram atendidas em 15 minutos. Ao final de um dia, a cooperativa apresentou o seguinte desempenho: Esse desempenho mostra que, nesse dia, a meta estabelecida foi atingida a) nas primeiras 100 chamadas. b) nas primeiras 200 chamadas. c) nas primeiras 300 chamadas. d) nas primeiras 400 chamadas. e) ao final do dia. A tabela nos mostra o número acumulado de chamadas. Usando uma regra de três, temos: Nas 100 primeiras chamadas (6 não atendidas) Chamadas atendidas Percentual % x x 94% não atingiu a meta de 95% de chamadas atendidas. x 100 Nas 200 primeiras chamadas (11 não atendidas) Chamadas atendidas Percentual % x x 94,5% também não atingiu a meta. x 200 Nas 300 primeiras chamadas (17 não atendidas) Chamadas atendidas Percentual % x x 94,33% novamente não atingiu a meta. 283 x 300 7

8 Nas 400 primeiras chamadas (21 não atendidas) Chamadas atendidas Percentual % x x 94,75% outra vez não atingiu a meta. x 400 No final do dia 482 chamadas (24 não atendidas) Chamadas atendidas Percentual % x x 95% finalmente atingiu a meta. x O gráfico abaixo foi extraído de matéria publicada no caderno Economia & Negócios do jornal O Estado de S. Paulo, em 11/6/2006. É um título adequado para a matéria jornalística em que esse gráfico foi apresentado: a) Brasil: inflação acumulada em 12 meses menor que a dos EUA. b) Inflação do terceiro mundo supera pela sétima vez a do primeiro mundo. c) Inflação brasileira estável no período de 2001 a d) Queda no índice de preços ao consumidor no período e) EUA: ataques terroristas causam hiperinflação. 8

9 Se levarmos em conta o período , veremos que a inflação acumulada no Brasil foi menor que a dos EUA. No entanto, o gráfico da matéria publicado no jornal é conflitante, pois os dados apresentados são do período , que representam os últimos cinco anos e o título enuncia uma inflação acumulada em 12 meses. 08. No Brasil, verifica-se que a Lua, quando está na fase cheia, nasce por volta das 18 horas e se põe por volta das 6 horas. Na fase nova, ocorre o inverso: a Lua nasce às 6 horas e se põe às 18 horas, aproximadamente. Nas fases crescente e minguante, ela nasce e se põe em horários intermediários. Sendo assim, a Lua na fase ilustrada na figura acima poderá ser observada no ponto mais alto de sua trajetória no céu por volta de a) meia-noite. b) três horas da madrugada. c) nove horas da manhã. d) meio-dia. e) seis horas da tarde. A lua apresentada na ilustração é crescente (tem a forma de C, letra inicial de crescente). Se a lua Cheia nasce às seis horas da tarde e a Nova às seis horas da manhã, a lua Crescente, que nasce num horário intermediário, deverá nascer ao meio-dia e será observada no ponto mais alto de sua trajetória por volta das seis da tarde. 09. A Terra é cercada pelo vácuo espacial e, assim, ela só perde energia ao irradiá-la para o espaço. O aquecimento global que se verifica hoje decorre de pequeno desequilíbrio energético, de cerca de 0,3%, entre a energia que a Terra recebe do Sol e a energia irradiada a cada segundo, algo em torno de 1 W/m 2. Isso significa que a Terra acumula, anualmente, cerca de 1, J. Considere que a energia necessária para transformar 1 kg de gelo a 0 ºC em água líquida seja igual a 3, J. Se toda a energia acumulada anualmente fosse usada para derreter o gelo nos pólos (a 0 ºC), a quantidade de gelo derretida anualmente, em trilhões de toneladas, estaria entre a) 20 e 40. b) 40 e 60. c) 60 e 80. d) 80 e 100. e) 100 e

10 Vamos encontrar a massa total do gelo, sabendo que a quantidade total de energia acumulada é de 1, J e que 1 kg de gelo (a 0 C) absorve 3, J. Para fazer isso, vamos aplicar uma regra de três simples: Massa do gelo energia para derreter o gelo 1 kg , J x , J ,2.10 1, x x 0, kg toneladas x ,6.10 3,2.10 Como = = 1 trilhão, temos a massa igual a 50 trilhões de toneladas. 10. No primeiro semestre de 2006, o Movimento Global pela Criança, em parceria com o UNICEF, divulgou o relatório Salvando vidas: o direito das crianças ao tratamento de HIV e AIDS. Nesse relatório, conclui-se que o aumento da prevenção primária ao vírus deverá reduzir o número de novos casos de infecção entre jovens de 15 a 24 anos de idade, como mostra o gráfico a seguir. Com base nesses dados, analise as seguintes afirmações. I - Ações educativas de prevenção da transmissão do vírus HIV poderá contribuir para a redução, em 2008, de mais de 20% dos novos casos de infecção entre os jovens, em relação ao ano de II - Ações educativas relativas à utilização de preservativos nas relações sexuais reduzirão em 25% ao ano os novos casos de AIDS entre os jovens. III - Sem o aumento de medidas de prevenção primária, estima-se que, em 2010, o aumento de novos casos de infecção por HIV entre os jovens serão em relação ao ano de 2005, 50% maior. É correto apenas o que se afirma em: a) I b) II c) III d) I e II e) II e III 10

11 Vamos analisar cada afirmação. Afirmação I Verdadeira. Em 2005, havia aproximadamente de novos casos de jovens infectados. Com as medidas de prevenção, em 2008 teremos , aproximadamente, o que representa uma redução de mais de 20%. Afirmação II Falsa Se analisarmos, por exemplo, o período veremos uma redução com as ações educativas, mas são menores do que 25%. Em 2005, temos pouco menos de de jovens infectados, enquanto que em 2006, temos , aproximadamente, que é claramente uma redução menor que 25%. Afirmação III Falsa No ano de 2005, havia de novos casos de jovens infectados, e a projeção para 2010 é de novos casos, aproximadamente, que é também um aumento claramente menor do que 50%. 11. Para se obter 1,5 kg do dióxido de urânio puro, matéria-prima para a produção de combustível nuclear, e necessário extrair-se e tratar-se 1,0 tonelada de minério. Assim, o rendimento (dado em % em massa) do tratamento do minério ate chegar ao dióxido de urânio puro é de: a) 0,10% b) 0,15% c) 0,20% d) 1,5% e) 2,0% Lembrando que 1 tonelada = 1000 kg e usando uma regra de três, temos: 1000 kg % 1,5 kg x ,5 x 0,15% 1,5 x Na avaliação da eficiência de usinas quanto à produção e aos impactos ambientais, utilizam-se vários critérios, tais como: razão entre produção efetiva anual de energia elétrica e potência instalada ou razão entre potência instalada e área inundada pelo reservatório. No quadro seguinte, esses parâmetros são aplicados às duas maiores hidrelétricas do mundo: Itaipu, no Brasil, e Três Gargantas, na China. 11

12 Com base nessas informações, avalie as afirmativas que se seguem. I - A energia elétrica gerada anualmente e a capacidade nominal máxima de geração da hidrelétrica de Itaipu são maiores que as da hidrelétrica de Três Gargantas. II - Itaipu é mais eficiente que Três Gargantas no uso da potência instalada na produção de energia elétrica. III - A razão entre potência instalada e área inundada pelo reservatório é mais favorável na hidrelétrica Três Gargantas do que em Itaipu. É correto apenas o que se afirma em a) I b) II c) III d) I e II e) II e III Vamos analisar cada afirmação. Afirmação I Falsa A geração anual de energia elétrica em Itaipu é maior que Três Gargantas, mas a potência instalada em Três Gargantas é maior do que a de Itaipu. Afirmação II Verdadeira Se calcularmos razão (divisão) entre produção efetiva anual de energia elétrica e potência instalada, veremos que Itaipu é mais eficiente. Afirmação III Verdadeira Se calcularmos a razão (divisão) entre potência instalada e área inundada pelo reservatório, veremos que Três Gargantas é mais eficiente. 13. O carneiro hidráulico ou aríete, dispositivo usado para bombear água, não requer combustível ou energia elétrica para funcionar, visto que usa a energia da vazão de água de uma fonte. A figura a seguir ilustra uma instalação típica de carneiro em um sítio, e a tabela apresenta dados de seu funcionamento. 12

13 A eficiência energética ε de um carneiro pode ser obtida pela expressão: cujas variáveis estão definidas na tabela e na figura. No sítio ilustrado, a altura da caixa d água é o quádruplo da altura da fonte. Comparado a motobombas a gasolina, cuja eficiência energética é cerca de 36%, o carneiro hidráulico do sítio apresenta a) menor eficiência, sendo, portanto, inviável economicamente. b) menor eficiência, sendo desqualificado do ponto de vista ambiental pela quantidade de energia que desperdiça. c) mesma eficiência, mas constitui alternativa ecologicamente mais apropriada. d) maior eficiência, o que, por si só, justificaria o seu uso em todas as regiões brasileiras. e) maior eficiência, sendo economicamente viável e ecologicamente correto. Como a altura da caixa d água H é o quádruplo da altura da fonte h, temos H h Pela tabela dada, a vazão da fonte Vf deve ser um valor entre 720 e 1200 litros por hora, para o funcionamento do sistema. A vazão de água bombeada pela caixa d água Vb deve ser um valor entre 120 e 210 litros por hora. A menor eficiência do sistema é determinada pela menor vazão de água bombeada Vb e pela maior vazão da fonte Vf. Sendo assim, temos: Menor eficiência H Vb ,4 ou 40% h Vf 1200 Portanto, o carneiro hidráulico é mais eficiente do que as motobombas (36%). 14. O carneiro hidráulico ou aríete, dispositivo usado para bombear água, não requer combustível ou energia elétrica para funcionar, visto que usa a energia da vazão de água de uma fonte. A figura a seguir ilustra uma instalação típica de carneiro em um sítio, e a tabela apresenta dados de seu funcionamento. 13

14 A eficiência energética ε de um carneiro pode ser obtida pela expressão: cujas variáveis estão definidas na tabela e na figura. Se, na situação apresentada, H = 5h, então, é mais provável que, após 1 hora de funcionamento ininterrupto, o carneiro hidráulico bombeie para a caixa d água a) de 70 a 100 litros de água. b) de 75 a 210 litros de água. c) de 80 a 220 litros de água. d) de 100 a 175 litros de água. e) de 110 a 240 litros de água. As mínimas vazões de bombeamento da água da caixa para H = 4h e H = 6h são, respectivamente, 120 e 80 litros por hora. Para H = 5h, a vazão deverá ser a média aritmética dos valores H = 4h e H = 6h. Logo: V b 100 litros / hora 2 As máximas vazões de bombeamento da água da caixa para H = 4h e H = 6h são, respectivamente, 210 e 140 litros por hora. Para H = 5h, a vazão deverá ser a média aritmética dos valores H = 4h e H = 6h. Logo: V b 175 litros / hora 2 Então, podemos concluir que o carneiro hidráulico irá bombear para a caixa d água entre 100 e 175 litros de água. 15. Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões de papel retangulares de 20 cm x 10 cm (conforme ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e, em seguida, os preenche completamente com parafina. Supondo-se que o custo da vela seja diretamente proporcional ao volume de parafina empregado, o custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do tipo II, será a) o triplo. b) o dobro. c) igual. d) a metade. e) a terça parte. 14

15 Vamos usar a fórmula do volume do cilindro V.R. h para calcular o volume de parafina empregado na vela tipo I e tipo II. Vela tipo I Este cilindro terá uma altura de 10 cm e base circular de comprimento igual a 20 cm. O comprimento de uma circunferência é determinado por C = 2R. Logo: R R Calculando o volume, temos: V I cm 3 Vela tipo II Este cilindro terá uma altura de 20 cm e base circular de comprimento igual a 10 cm. O comprimento de uma circunferência é determinado por C = 2R. Logo: R R Calculando o volume, temos: VII..20 cm Fazendo a razão entre os volumes, temos: 1000 VI 2 VI 2VII VII 500 Como a quantidade de parafina usada para confeccionar as velas é proporcional ao volume, o custo da vela I será o dobro do da vela II. 16. Eclusa é um canal que, construído em águas de um rio com grande desnível, possibilita a navegabilidade, subida ou descida de embarcações. No esquema abaixo, está representada a descida de uma embarcação, pela eclusa do porto Primavera, do nível mais alto do rio Paraná até o nível da jusante. 2 15

16 A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 200 m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada da água durante o esvaziamento da câmara é de m 3 por minuto. Assim, para descer do nível mais alto até o nível da jusante, uma embarcação leva cerca de a) 2 minutos. b) 5 minutos. c) 11 minutos. d) 16 minutos. e) 21 minutos. Quando a câmara é esvaziada, a quantidade de água eliminada é igual ao do paralelepípedo retângulo cuja base mede 200 m x 17 m e cuja altura é de 20 m (até o nível da jusante). Este volume é calculado fazendo o produto das 3 dimensões: V = = m 3 Se a vazão aproximada é de m 3 por minuto, o tempo necessário para o esvaziamento é: t 16 min utos Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a a) 1,8 m. b) 1,9 m. c) 2,0 m. d) 2,1 m. e) 2,2 m. 16

17 O corrimão possui duas partes horizontais de 30 cm de comprimento cada uma (conforme indica o desenho dado) e uma parte inclinada. Esta parte inclinada pode ser determinada por um triângulo retângulo formado pela altura do corrimão até o primeiro degrau, cuja medida é 90 cm, e pelo comprimento da escada, que é formado pela soma dos comprimentos dos degraus, ou seja, 5 x 24 =120 cm. 90 cm x 24 cm 24 cm 24 cm 24 cm 24 cm Sabendo que a parte inclinada x é a hipotenusa do triângulo retângulo e aplicando o teorema de Pitágoras, temos: x² = 120² + 90² x 2 = x 2 = x = 150 cm Portanto, o comprimento do corrimão é igual a soma das partes horizontais e da parte inclinada: = 210 cm = 2,1 metros. 120 cm 17