Identifique todas as folhas Folhas não identificadas NÃO SERÃO COTADAS. Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa EXAME DE CÁLCULO I

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1 Idntifiqu todas as folhas Folhas não idntificadas NÃO SERÃO COTADAS Faculdad d Economia Univrsidad Nova d Lisboa EXAME DE CÁLCULO I Ano Lctivo º Smstr Eam Final d ª Época m d Janiro 9 Duração: horas minutos É proibido usar máquinas d calcular ou tlmóvis Não tnha o su tlmóvl consigo Não são sclarcidas dúvidas Simplifiqu os cálculos ao máimo Justifiqu smpr as suas rspostas Pod usar o vrso das folhas d am Os rascunhos dvm star bm idntificados Não pod dsagrafar as folhas do am d

2 NOME: Qustõs, valors! Comnt num máimo d 5 linhas a sguint fras: O facto d uma crta função f () não sr contínua num ponto não impd a sua aproimação por um polinómio d Taylor d ordm n nss ponto. Tal acontc porqu na fórmula ( n) n f ( ) + f '( )( ) + f ''( )( ) +... f ( )( )! n! o valor d f ) pod sr concrtizado, dsd qu ista. ( A afirmação é FALSA! Impd pois!! S f () não for contínua num ponto ntão também não srá difrnciávl nss ponto, dado qu continuidad é condição ncssária para difrnciabilidad. Logo, ainda qu f ) possa sr concrtizado, já qu f () não é difrnciávl ntão f ( ) aproimação não podrá sr fita. ( podrá nm istir a d

3 Comnt num máimo d 5 linhas a sguint fras: Uma sucssão divrgnt oscilant cujos trmos sjam todos iguais pod sr convrgnt. A afirmação é FALSA! É só lr com atnção! Uma sucssão divrgnt ( ) pod sr convrgnt Logo aqui não pod sr, ou a sucssão é convrgnt ou divrgnt as duas coisas é qu não! Uma sucssão divrgnt oscilant cujos trmos sjam todos iguais ( ) Mau! S a sucssão é divrgnt oscilant não pod tr os trmos todos iguais. Porquê? Porqu uma sucssão com os trmos todos iguais é convrgnt! Uma sucssão cujos trmos sjam todos iguais pod sr ( d facto é) convrgnt, mas ntão sta sucssão não é uma sucssão divrgnt oscilant! Esta afirmação ralmnt não tm ponta por ond s lh pgu. Tm ar d sr to Zé Tuga do ISEGUE d

4 Indiqu ( justifiqu) a vracidad da sguint afirmação: o difrncial da função pod tomar valors ngativos pois. nunca A afirmação é FALSA! O difrncial d é dado por df d st valor pod sr ngativo s, por mplo, d < tomar valors positivos, ou para valors ngativos d d >. d

5 Dtrmin analiticamnt o domínio da função ral d variávl vctorial rprsnt-o graficamnt ln( + ) f (, y) ln( y ) Df Df {(, y) R : + > y > ln( y ) } {(, y) R : > y > y + } Rprsntação gráfica do domínio d f (, y) : 5 d

6 5 Considr a sucssão cujo trmo gral é: U n P( P( P( ))), k > n vzs ond P rprsnta como habitualmnt a primitiva d uma função. Calcul lim U n. Ora vamos calcular algumas primitivas d ordm infrior para sntirmos como srá a n-ésima: Vz: P( ) k Vzs: P( P( )) P P( ). k k k k ( k) Vzs: P( P( P(.. n Vzs: P ))) P ( k) ( k) ( ) P. n ( k) ( k) ( k) k ( k) ( ) ( P...( P( ))) P P n. n ( k) k ( k) n Logo U n ( k) n limu n lim n + ( k) n lim n + ( k) n Como > k, lim U n 6 d

7 6 Considr a sguint função ral d variávl vctorial: y f (, y) + Rprsnt graficamnt algumas curvas d nívl da função, indicando gnricamnt (m função d k ) o domínio, intrscção com ios quação das assímptotas (s istirm). Eprssão gral das curvas d nívl da função: ( k ) y y f (, y) k + k k y ln - Para - Para - Para k, tmos: y ln( ) k, tmos: y ln( ) k, tmos: y ln( ) k- k k Curvas d nívl: y ln( k ) k Df R : < ou sja Df, k k k ln k k, Domínio: { R : k > } Intrscção io XX: ( ) Intrscção io YY: ln ( k ) ln k (,ln k ) Assímptotas: sabmos qu uma função logarítmica tm apnas uma assímptota vrtical qu é facilmnt ncontrada obsrvando o rspctivo domínio. Assim, a quação da assímptota vrtical da curva d nívl d cota k é dada por k. 7 d

8 7 Considr a função Qual (ou quais) das afirmaçõs sguints é (são) vrdadira(s) (pod havr mais do qu uma!!) (A) m, f () é contínua mas não difrnciávl (B) m, f () é difrnciávl mas não é contínua (C) m, f () é contínua difrnciávl (D) m, f () é contínua por isso difrnciávl (E) a função é contínua m R portanto pod sr dsnvolvida m fórmula d Taylor m R Para comçar podmos vr o bonco da função y (A) FALSO! Em a função é contínua difrnciávl. f ( ) lim lim logo a função é contínua. f ( ) ( ) qu é um valor finito logo a função é difrnciávl. (B) FALSO! Em, f () não é difrnciávl mas é contínua. 8 d

9 f ( ) lim lim logo a função é contínua. ( + h) ( + ) + h + h + h + h f d () lim lim lim lim + h h h h h h h h ( + h) + ( + ) ( + h + h ) + + f () lim lim lim h h h h h h Logo a função não é difrnciávl. (C) VERDADEIRA! VER (A). (D) FALSO! A função é contínua, mas não é difrnciávl (continuidad não implica difrnciabilidad). Basta adaptar o cálculo da drivada pla dfinição m (B) para o ponto para vr qu as drivadas latrais vão sr difrnts. (E) FALSO! A função é contínua m R, mas NÃO é difrnciávl m R, mais prcisamnt nos pontos -, logo nsts pontos não pod sr dsnvolvida m fórmula d Taylor. 9 d

10 8 Sja f (, y) lim n + ( ) n ny Calcul f (, y). y Primiro tmos qu calcular o limit. Rpar qu o limit aprsntado pod sr facilmnt rsolvido com o auílio d um liir mágico: f (,y) lim Tmos ntão: f (, y) y y ( ) lim n ny n + ( ) y. n + (n +)y ny lim y y n + d

11 9 Considr a função y f (), dada na forma implícita: y 5 + y qu passa plo ponto (,f()) (,). Calcul f ''(), sm prcisar d simplificar ao máimo. Comcmos por dtrminar f '() drivando d forma implícita a prssão qu nos é dada: ( y + 5 y ' ) ' ( ) y + y y'+5 y + 5 y y' y' ( y + 5 y ) y 5 y y' y + 5 y y + 5 y y' y + 5y + y Agora podmos calcular a prssão gnérica para y'': y + 5y y'' y + ' Já tmos o valor d y no ponto (,): f '() y' (,y)(,) Finalmnt tmos: f ''() [ y' + 5( y + yy' )]( + y) [ + ( y + y' )]( y + 5y ) ( y) y'' (, y ) (,) ( + ) + + ( + 5) ( + ) 9 7 Sm máquina d calcular, podmos ficar por aqui! d

12 Sja a sucssão U n n A o conjunto d númros rais dfinido da sguint forma: n + 5 A (] 5, ] Q) { lim } U n Indiqu o intrior, a frontira, a adrência, o conjunto drivado o cardinal do conjunto A. n Comcmos por calcular lim U n lim lim. n n A ( 5, Q) { }. Então ] ] Int.A Fr.A[5,]U{} A [5,]U{} A [5,] #AAlf Zro d

13 Considr a função sin arcsin( ). Dtrmin o su domínio. Para o domínio tmos d tr atnção às rstriçõs ncssárias para a prssão fazr sntido. D f { R : } { R : } [, ] [, ] d

14 Sabndo apnas qu f ( ) f '( ), calcul o valor d lim. Como não conhcmos a prssão gral da função f (), tmos qu usar apnas a informação dada no nunciado para calcular o limit. Parc qu falta informação, mas NÃO falta! Obsrv bm, não srá um limit algo familiar? Hum A palavra drivada pla dfinição lmbra-lh alguma coisa? Ora bm, ao trabalho! f ( ) lim lim f ( ) lim lim ( ) lim f ( ) + Not qu a primira parcla dsigna a drivada pla dfinição d f () no ponto, ou sja, f '( ). Assim: lim lim f ( ) lim ( ) f '( ) lim lim Assim, lim d

15 Considr a função arcsin( ). Indiqu os pontos candidatos a trmos d f (). Pontos candidatos a trmos são pontos do dominio da função ond a sua drivada s anul ou não ista. D f { R : } [, ] [, ] f ( ) [ arcsin( ) ] ( ) f ( ) ( ) Mas m, ( ) ( ) qu não faz sntido!!!!! Ainda qu fizss! O ponto nm squr prtnc ao domínio da função! Conclusão: não istm pontos candidatos a trmos da função. 5 d

16 Sja a função ral d variávl ral dfinida por m( ) f ( ln ) Sab-s qu f ( ) qu ( ) ponto d abcissa., com f difrnciávl m R. f '. Indiqu a quação da rcta tangnt ao gráfico d m () no A rcta tangnt ao gráfico da função m () no ponto pdido podrá sr dfinida por y a + b, m qu b m'. Em primiro lugar, calculmos a prssão gnérica da drivada (not qu é a drivada d uma função composta): m' ( ) f ' ( ln ) ln + Avalimos d sguida no ponto : m ' f ' ln ln+ f ' Logo, b m' y a +. ( ) Falta calcular o valor d a (ordnada na origm), bastando ncontrar a imagm associada a Como ln ( ). m f f, tmos o ponto ;. Agora é fácil! É só substituir na quação da rcta. y a + a + a A quação da rcta tangnt ao gráfico d m () no ponto d abcissa y +. é dada por: 6 d

17 5 Sja a função g( ) ( ) < > a) Estud a convrgência do intgral g ( ) d da manira mais prguiçosa qu pudr. b) Considr agora a função () Torma da Piscina Agitada. g rstrita ao intrvalo [,]. Calcul o valor d h d qu fala o a) g ) d d + d + ( ) ( d Obsrvando a prssão final, dsconfiamos qu o intgral possa sr divrgnt m virtud do intgral parclar d. S st intgral divrgir os outros convrgirm, ntão o intgral pdido srá divrgnt. Ao trabalho! Atnção qu s trata d um intgral impróprio: ε ε [ ] lim ln ε ln ln d d lim ln ε ε Como d é divrgnt não há razão para qu os outros intgrais parclars não convirjam (funçõs contínuas domínios finitos d intgração), ntão chga-s facilmnt à conclusão qu g ( ) d é divrgnt. Foi muito útil sr prguiçoso! a função é dfinida por g Piscina Agitada, tmos: b) No intrvalo [,] d h h log ( ) ln ln h log h ln ( ln ) h log ( ln ) ( ). Sabmos qu ln h ln h g h ( h). Plo Torma da 7 d

18 ' 6 Sabndo qu para crta função ral d variávl ral ) f ( não ist, diga qual ou quais das sguints afirmaçõs são corrctas (cuidado podm sr todas falsas, podm sr todas vrdadiras, tc) (A) m, f () não pod tr trmo (B) m, f () não é difrnciávl (C) m, f () é dscontinua (D) não ist invrsa d f () m (A) FALSO!! f () pod tr trmo m, já qu para um ponto sr trmo a drivada nss ponto tm d s anular ou não istir. Lmbr-s da função módulo d... (B) VERDADEIRO! S m, a drivada não ist, muito mnos pod sr finita, logo f () não é difrnciávl. (C) FALSO! Não podmos afirmar qu f () é dscontinua m (nm contínua). Ou sja, o facto d não istir drivada no ponto nada nos diz sobr a continuidad da função nss ponto. Lmbr-s da função módulo... (D) FALSO! O facto d não istir drivada d ) ( f m não nos prmit concluir nada sobr invrtibilidad da função. Por mplo, a função módulo d não tm drivada no ponto zro no ntanto ist invrsa nss ponto, o único aliás! 8 d

19 7 Comnt, ponto a ponto, a vracidad da sguint afirmação profrida plo Zé Tuga, aluno d Cálculo I do ISEGUE: Uma função pod sr difrnciávl m R ainda assim não sr contínua m R. Um clnt mplo é a função qu tm drivada igual a zro m todo o su domínio. É 5 > óbvio pois f () é smpr constant! O aluno Zé Tuga parc um pouco baralhado, dv andar a studar pouco! A afirmação é claramnt falsa! Jamais uma função difrnciávl no su domínio pod sr dscontínua. S a difrnciabilidad (istência d drivada finita) implica a continuidad ntão, plo qu aprndmos no capítulo da lógica, a não continuidad implica a não difrnciabilidad. Assim, s f () é dscontínua m, ntão srá d crtza não difrnciávl nss ponto! Quando muito sria drivávl, o qu nm é o caso! Vjamos o gráfico da função. Not qu o dcliv das rctas a tracjado vai tndr para infinito, logo a drivada latral dirita no ponto srá mais infinito. Sndo a drivada latral squrda igual a zro (aplicando o raciocínio análogo), conclui-s qu a função nm squr é drivávl no ponto m studo, quanto mais difrnciávl. É falsa a afirmação do Zé Tuga. 9 d

20 8 Calcul d diga s corrspond a uma ára. d ( ) 6 5 Est intgral NÃO corrspond à ára da função ntr -, mas corrspond a uma ára, mais prcisamnt à ára da função ntr, como s pod obsrvar no gráfico: y d

21 9 Sja a função ral d variávl ral dfinida por ) f ( sin, com f ( ) f ( n) Torma das Sucssõs Enquadradas calcul o limit da sucssão U n. n. Rcorrndo ao Trata-s d uma primitiva quas imdiata. Ora vja: Como ( ) ( ) C cos sin sin + cos ( ) f, + C f ( n) cos U n n n ( n ), logo cos( ) C. Tmos ntão. Plo Torma das Sucssõs Enquadradas tndo m conta qu cos( ) ( ) cos( n ) ( ) lim lim lim n n n cos( n ) 5 lim lim lim n n n cos( n ) lim n cos( n ) Assim s conclui qu lim n só pod sr igual a. n : d

22 Comnt a sguint fras: ' Suponha qu para crta função para todo D f ; ntão sta função tm invrsa m todos os pontos do su domínio. FALSO! Basta pnsa numa função não injctiva com drivadas smpr difrnts d zro no su domínio. Por mplo, m, R \ { }, tmos a drivada difrnt d zro m todos os pontos do dominio da função no ntanto sta não é invrtívl porqu não é injctiva. d