CAPÍTULO 12 REGRA DA CADEIA

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1 CAPÍTULO 12 REGRA DA CADEIA 121 Introdução Em aulas passadas, aprndmos a rgra da cadia para o caso particular m qu s faz a composição ntr uma função scalar d várias variávis f uma função vtorial d uma variávl ral g Vamos aprovitar para rvr st rsultado TEOREMA 1211: Rgra da Cadia - composição d uma função scalar d várias variávis com uma função vtorial d uma variávl ral Considr as funçõs f : Domf R p R g : Domg R R p Suponha qu f é difrnciávl no abrto A Domf R p qu a função g é difrnciávl no intrvalo abrto I Domg R Além disso, suponha qu gt A, para todo t I Domg Nstas condiçõs, a função f g é difrnciávl m I f g t fgt g t, t I, ond é o produto scalar g t é o vtor drivada d g m t Vamos agora aprndr a rgra da cadia na sua forma gral 122 Rgra da Cadia A rgra da cadia para funçõs vtoriais d várias variávis prsrva o msmo nunciado simpls qu vimos m Cálculo 1A, ond o produto comum é substituído por um produto matricial Entrtanto, é important rssaltar qu dvmos tomar cuidado com as dimnsõs TEOREMA 1221: Rgra da Cadia - Funçõs Vtoriais d Várias Variávis Considr as funçõs F : DomF R p R m G : DomG R n R p Suponha qu ImG DomF sja X 0 Aabrto DomG Nst caso, s G é uma 213

2 Cálculo 2B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis função difrnciávl m X 0 F é uma função difrnciávl m GX 0, ntão a função F G : DomG R n R m é difrnciávl m X 0 ond é um produto ntr matrizs DF GX 0 DF GX 0 DGX 0, Obsrvação 1221: Obsrv qu DF GX 0 M m p, DGX 0 M p n DF GX 0 M m n Vamos comçar os xmplos nquadrando-os primiro m casos particulars Iniciarmos com o xmplo visto na introdução 123 Primiro Caso Particular: n 1 m 1 Nst caso, tmos qu f g são as sguints funçõs: Dsta forma, tmos qu f : Domf R p R X x 1, x 2,, x p fx fx 1, x 2,, x p g : Domg R R p t gt g 1 t, g 2 t,, g p t DfX 1 X Dgt 2 X g 1 t g 2t : g pt p X M p 1 M 1 p Vamos ntão considrar a composta f G, qu é dada por f gt fgt fg 1 t, g 2 t,, g p t Vamos ainda dfinir a função h, conform dado abaixo, ht f gt fgt fg 1 t, g 2 t,, g p t Obsrv qu h é a função ral d variávl ral dada por h : Domh R R t ht fg 1 t, g 2 t,, g p t,

3 Cálculo 2B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis d modo qu h t é um scalar h t M 1 1 Para dtrminar h t, aplicamos a rgra da cadia ncontramos qu h t DfgtDgt 1 gt 2 gt p gt 1 gtg 1t + 2 gtg 2t + + p gtg pt g 1t g 2t : g pt Conform já vimos na aula d funçõs vtoriais d uma variávl ral é convnint considrar a matriz coluna Dgt como um vtor dsnhá-lo com sua origm no ponto imagm gt Pois, nst caso, quando não é nulo, o vtor Dgt fornc o vtor tangnt à curva imagm da função g no ponto gt Procdndo ntão dsta forma, obsrv qu s scrvrmos Dgt, qu é uma matriz p 1, como um vtor, i g t g 1t, g 2t,, g pt conform fito na aula d funçõs vtoriais d uma variávl ral, podmos scrvr h como h t Dfgt g t fgt g t, ond o primiro produto é um produto ntr matrizs o sgundo produto é o produto scalar Obsrv qu, para não sobrcarrgar a notação, é ncssário tr atnção com o significado d g t, pois, dpndndo do contxto, l pod sr uma matriz p 1 ou um vtor Escrita da forma acima, tmos qu a rgra da cadia para a composta ntr uma função scalar d várias variávis f uma função vtorial d uma variávl ral g, toma xatamnt o formato visto como um caso particular da rgra da cadia, conform mncionado antriormnt Como já xrcitamos bastant st caso particular, vamos passar ao próximo caso particular 124 Sgundo Caso Particular: n 2, m 1 p 2 Nst caso, tmos qu f G são as sguints funçõs: f : Domf R 2 R x, y fx, y G : DomG R 2 R 2 u, v Gu, v xu, v, yu, v

4 Cálculo 2B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis Dsta forma, tmos qu Dfx, y DGu, v x, y u, v u, v x, y u, v u, v M 1 2 M 2 2 Vamos ntão considrar a composta f G, qu é dada por vamos dfinir a função h como f Gu, v fgu, v fxu, v, yu, v hu, v f Gu, v fgu, v fxu, v, yu, v Obsrv qu h é a função ral d duas variávis rais dada por d modo qu Dhu, v M 1 2 Portanto, pla rgra da cadia, sgu qu Dhu, v DfGu, vdgu, v xu, v, yu, v x, y h : DomG R 2 R u, v hu, v, u, v + xu, v, yu, v x, y u, v x, y u, v u, v u, v + u, v u, v x, y u, v Como a drivada da função h : DomG R 2 R u, v hu, v é dada pla matriz tmos qu Dhu, v u, v u, v M 1 2,

5 Cálculo 2B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis u, v u, v xu, v, yu, v xu, v, yu, v u, v + u, v + xu, v, yu, v u, v 1 xu, v, yu, v u, v 2 Obsrvação 1241: Obsrv qu, para facilitar a mmorização, também podmos xprssar m palavras os rsultados obtidos m 1 2 como: drivada parcial d h com rspito à variávl u é IGUAL drivada parcial d f com rspito a sua primira variávl avaliada m Gu, v VEZES a drivada parcial com rspito à variávl u da função qu ocupa a posição da primira variávl MAIS drivada parcial d f com rspito a sua sgunda variávl avaliada m Gu, v VEZES a drivada parcial com rspito à variávl u da função qu ocupa a posição da sgunda variávl drivada parcial d h com rspito à variávl v é IGUAL drivada parcial d f com rspito a sua primira variávl avaliada m Gu, v VEZES a drivada parcial com rspito à variávl v da função qu ocupa a posição da primira variávl MAIS drivada parcial d f com rspito a sua sgunda variávl avaliada m Gu, v VEZES a drivada parcial com rspito à variávl v da função qu ocupa a posição da sgunda variávl Exmplo 1241: Sja hu, v fu 2 + v 2, uv, ond f é uma função difrnciávl Dtrmin as drivadas parciais d h m função das drivadas parciais d f Solução: Vamos introduzir a função vtorial Gu, v u 2 + v 2, uv, d modo qu hu, v fgu, v fu 2 + v 2, uv Obsrv qu a função vtorial G é difrnciávl, uma vz qu suas funçõs coordnadas são difrnciávis, pois são funçõs polinomiais Além disso, tmos qu f é uma função difrnciávl, por hipóts Dsta forma, podmos aplicar a rgra da cadia 1 a Opção: Nsta primira opção, vamos calcular todas as multiplicaçõs matriciais nvolvidas na rgra da cadia Para o cálculo d Df, vamos supor qu f é função das variávis x y, i f fx, y Nst caso, aplicando a rgra da Cadia, tmos qu Dhu, v DfGu, vdgu, v, ond Dhu, v u, v u, v,

6 Cálculo 2B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis DGu, v 2u v 2v u d modo qu DfGu, v Dfx, y x, y xu, v, yu, v u2 + v 2, uv x, y, xu, v, yu, v u2 + v 2, uv Dsta forma, sgu qu Dhu, v DfGu, vdgu, v 2u 2v u2 + v 2, uv u2 + v 2, uv v u 2u x, y + v x, y 2v x, y + u x, y Rsulta portanto, qu u, v 2u u2 + v 2, uv + v u2 + v 2, uv u, v 2v u2 + v 2, uv + u u2 + v 2, uv 2 a Opção: Como sgunda opção, vamos aplicar dirtamnt os rsultados obtido m 1 2 Para sta solução, vamos continuar supondo qu f é função das variávis x y, i f fx, y Dsta forma, tmos qu u, v u2 + v 2, uv u2 + v 2 + u2 + v 2, uv uv 2u u2 + v 2, uv + v u2 + v 2, uv u, v u2 + v 2, uv u2 + v 2 + u2 + v 2, uv uv 2v u2 + v 2, uv + u u2 + v 2, uv

7 Cálculo 2B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis Exmplo 1242: Sja gu, v fuv 2, u+2v, ond f é uma função difrnciávl Dtrmin as drivadas parciais d g m função das drivadas parciais d f Solução: Vamos introduzir a função vtorial Hu, v uv 2, u+2v, d modo qu gu, v fhu, v fuv 2, u+2v Obsrv qu a função vtorial H é difrnciávl, uma vz qu suas funçõs coordnadas são difrnciávis, pois sua primira função coordnada é uma função polinomial sua sgunda função coordnada é formada pla composta da função raiz quadrada com uma xponncial com uma função polinomial Além disso, tmos qu f é uma função difrnciávl, por hipóts Dsta forma, podmos aplicar a rgra da cadia 1 a Opção: Nsta primira opção, vamos calcular todas as multiplicaçõs matriciais nvolvidas na rgra da cadia Para o cálculo d Df, vamos supor qu f é função das variávis x y, i f fx, y Nst caso, aplicando a rgra da Cadia, tmos qu Dgu, v DfHu, vdhu, v, ond Dgu, v DHu, v u, v 2uv 2 2 u, v 2u 2 v u+2v 2 2 u+2v u+2v 2 u+2v 2uv 2 2u 2 v u+2v u+2v, d modo qu DfGu, v Dfx, y x, y xu, v, yu, v uv2, u+2v x, y, xu, v, yu, v uv2, u+2v Dsta forma, sgu qu Dgu, v DfHu, vdhu, v uv2, u+2v uv2, u+2v 2uv 2 u+2v 2 2u 2 v u+2v

8 Cálculo 2B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis Rsulta portanto, qu u, v 2uv2 uv2, u+2v + u+2v 2 uv2, u+2v u, v 2u2 v uv2, u+2v + u+2v uv2, u+2v 2 a Opção: Como sgunda opção, vamos aplicar dirtamnt os rsultados obtido m 1 2 Para sta solução, vamos continuar supondo qu f é função das variávis x y, i f fx, y Dsta forma, tmos qu u, v uv2, u+2v uv2 + uv2, u+2v u+2v 2uv 2 uv2, u+2v + u+2v 2 uv2, u+2v u, v uv2, u+2v uv2 + uv2, u+2v u+2v 2u 2 v uv2, u+2v + u+2v uv2, u+2v Exmplo 1243: Sja hx, y fy 2 + gx, y, 1 + g1, x + y, ond f g são funçõs d class C 1 a Dtrmin x, y b Sabndo qu g1, 0 0 g1, 1 2, mostr qu Solução: 1, 0 0, 3 1, 0 + 0, 3 1, 1 a Vamos introduzir as funçõs vtoriais W x, y y 2 + gx, y, 1 + g1, x + y Kx, y 1, x + y a função ral lx, y gkx, y g1, x + y, d modo qu hu, v fw x, y fy 2 + gx, y, 1 + lx, y fy 2 + gx, y, 1 + gkx, y fy 2 + gx, y, 1 + g1, x + y Como f g são d class C 1, por hipóts, tmos qu f g são difrnciávis Obsrv qu a função vtorial W também é difrnciávl, uma vz qu suas funçõs coordnadas são difrnciávis D fato, a primira função coordnada d W é a soma d uma função polinomial com a função g a sgunda função coordnada d W é a soma da função constant 1 com a função l, qu é uma função difrnciávl, pois é a composta da função g com a função K, qu também é difrnciávl, pois suas funçõs coordnadas são funçõs polinomiais Dsta forma, como todas as funçõs nvolvidas são difrnciávis, podmos aplicar a rgra da cadia 1 a Opção: Nsta primira opção, vamos calcular todas as multiplicaçõs matriciais nvolvidas na rgra da cadia Para o cálculo d Df Dg, vamos supor qu f g são

9 Cálculo 2B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis funçõs das variávis x y, i f fx, y g gx, y Nst caso, aplicando a rgra da Cadia, tmos qu Dhx, y DfW x, ydw x, y, ond Dhx, y x, y x, y, DW u, v y2 + gx, y l l x, y x, y y2 + gx, y 1 + lx, y 1 + lx, y x, y 2y + x, y Dfx, y x, y x, y, d modo qu DfW x, y y2 + gx, y, 1 + lx, y y2 + gx, y, 1 + g1, x + y y2 + gx, y, 1 + lx, y y2 + gx, y, 1 + g1, x + y Dsta forma, sgu qu Dhx, y DfW x, ydw x, y W x, y W x, y x, y l l x, y l 2y + x, y x, y

10 Cálculo 2B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis Rsulta portanto, qu x, y W x, y l x, y + W x, y x, y y2 + gx, y, 1 + lx, y x, y + + y2 + gx, y, 1 + lx, y l x, y x, y W x, y 2y + l x, y y2 + gx, y, 1 + g1, x + y + l W x, y x, y 2y + l x, y + + y2 + gx, y, 1 + g1, x + y l x, y Como stamos somnt intrssados m, podmos abandonar o cálculo d Mas, para dtrminarmos l, prcisamos ainda dtrminar x, y Dvmos ntão aplicar novamnt a rgra da cadia Para isto, tmos qu Dlx, y DgKx, ydkx, y, ond Dlx, y l l x, y x, y, DKu, v 1 x + y x + y Dgx, y x, y x, y,

11 Cálculo 2B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis d modo qu DgKx, y 1, x + y 1, x + y Dsta forma, sgu qu Rsulta portanto, qu Dlx, y DgKx, ydkx, y Kx, y Kx, y 1, x + y 1, x + y 1, x + y 1, x + y l x, y 1, x + y l x, y 1, x + y Uma vz qu dtrminamos qu l x, y 1, x + y, voltando ntão à quação d, obtmos qu x, y y2 + gx, y, 1 + lx, y x, y + + y2 + gx, y, 1 + lx, y l x, y y2 + gx, y, 1 + g1, x + y x, y + + y2 + gx, y, 1 + v 1, x + y 2 a Opção: Como sgunda opção, vamos aplicar dirtamnt os rsultados obtido m 1 2 Para sta solução, vamos continuar supondo qu f g são funçõs das variávis x y, i f fx, y g gx, y Dsta forma, tmos qu

12 Cálculo 2B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis x, y y2 + gx, y, 1 + g1, x + y y2 + gx, y + + y2 + gx, y, 1 + g1, x + y 1 + g1, x + y y2 + gx, y, 1 + g1, x + y gx, y + + y2 + gx, y, 1 + g1, x + y g1, x + y y2 + gx, y, 1 + g1, x + y x, y + + y2 + gx, y, 1 + g1, x + y g1, x + y Para calcular g1, x + y, dvmos novamnt aplicar a rgra da cadia Dsta forma, tmos qu g1, x + y 1, x + y Podmos concluir ntão, qu 1, x + y 1 + 1, x + y x + y x, y y2 + gx, y, 1 + g1, x + y x, y + + y2 + gx, y, 1 + g1, x + y 1, x + y b Substituindo os valors dados na quação acima, tmos qu 1, 0 g1, 0, 1 + g1, 1 0, 3 1, 0 + 1, 0 + 0, 3 1, 1 g1, 0, 1 + g1, 1 1, 1 Exmplo 1244: Sja gu, v fu 2 + v 2, u 2 v, ond f é uma função d class C 2 a Dtrmin as drivadas parciais d g m função das drivadas parciais d f b Dtrmin a drivada dircional d g no ponto 1, 1 na dirção do vtor u 1, 1, sabndo qu 2, 1 3 2, 1 5 c Dtrmin 2 g m função das drivadas parciais d f 2 Solução:

13 Cálculo 2B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis a Vamos introduzir a função vtorial hu, v u 2 + v 2, u 2 v, d modo qu gu, v fhu, v fu 2 + v 2, u 2 v Como f é d class C 2, por hipóts, tmos qu f é d class C 1, portanto, difrnciávl Obsrv qu função vtorial h também difrnciávl, uma vz qu suas funçõs coordnadas são difrnciávis, pois são funçõs polinomiais Dsta forma, podmos aplicar a rgra da cadia aplicar dirtamnt os rsultados obtido m 1 2 Supondo qu f é função das variávis x y, i f fx, y, tmos qu u, v u2 + v 2, u 2 v u2 + v 2 + u2 + v 2, u 2 v u2 v 2u u2 + v 2, u 2 v + 2uv u2 + v 2, u 2 v u, v u2 + v 2, u 2 v u2 + v 2 + u2 + v 2, u 2 v u2 v 2v u2 + v 2, u 2 v + u 2 u2 + v 2, u 2 v b Como g é uma função difrnciávl, tmos qu 1, 1 g1, 1 u u 1, 1, 1, 1 1 2, 1 2 Substituindo u, v, por 1, 1 nas quaçõs d u, v u, v obtidas no itm a, ncontramos qu 1, 1 2 1, 1 2 2, , 1 2, 1 + 2, 1 Dsta forma, substituindo os valors dados, tmos qu 1, ,

14 Cálculo 2B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis Portanto, 1, 1 g1, 1 u u 1, 1, 16, , 1 2, , c Obsrv qu, como gu, v fhu, v, ond hu, v u 2 + v 2, u 2 v, tmos qu g é d class C 2, pois f é d class C 2, por hipóts, h é d class C 2, pois suas funçõs coordnadas são d class C 2 Sndo assim, sabmos qu 2 g xist Para dtrminar 2 2 g, vamos drivar Dsta forma, utilizando o rsultado obtido m a, tmos qu 2 2 g u, v u, v 2u 2 u2 + v 2, u 2 v + 2uv u2 + v 2, u 2 v Como f é d class C 2, tmos qu são d class C1, portanto, difrnciávis Portanto, podmos aplicar a rgra da soma, a rgra do produto a rgra da cadia mais uma vz Dsta forma, tmos qu 2 g u, v 2u 2 u2 + v 2, u 2 v + 2uv u2 + v 2, u 2 v 2u u2 + v 2, u 2 v + 2uv u2 + v 2, u 2 v Vamos ntão aplicar a rgra da cadia para calcular sparadamnt u2 + v 2, u 2 v u2 + v 2, u 2 v Dsta forma, tmos qu u2 + v 2, u 2 v 2 f 2 u2 + v 2, u 2 v u2 + v f u2 + v 2, u 2 v u2 v 2u 2 f 2 u2 + v 2, u 2 v + 2uv 2 f u2 + v 2, u 2 v u2 + v 2, u 2 v 2 f u2 + v 2, u 2 v u2 + v f 2 u2 + v 2, u 2 v u2 v 2u 2 f u2 + v 2, u 2 v + 2uv 2 f 2 u2 + v 2, u 2 v

15 Cálculo 2B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis Substituindo ntão as xprssõs d ncontradas, tmos 2 g 2 2 u2 + v 2, u 2 v + 2u 2u 2 f +2v u2 + v 2, u 2 v + 2uv u2 + v 2, u 2 v u2 + v 2, u 2 v u2 + v 2, u 2 v + 2 u2 + v 2, u 2 v + 2uv 2 f 2u 2 f u2 + v 2, u 2 v + 2uv 2 f 2 u2 + v 2, u 2 v Exmplo 1245: Sja hx, y f3 + x 2 y, fy, x 3, ond f é uma função d class C 1 a Dtrmin x, y x, y m função das drivadas parciais d f b Conhcndo os valors abaixo, dtrmin a quação do plano tangnt o gráfico d h no ponto 1, 2, 4 f2, 1 3, f5, 3 4, Solução: 2, 1 4, 5, 3 6, 2, 1 2 5, 3 1 a Vamos introduzir as funçõs vtoriais gx, y 3+x 2 y, fy, x 3 g 1 x, y y, x 3, d modo qu hx, y fgx, y f3 + x 2 y, fg 1 x, y f3 + x 2 y, fy, x 3 Como f é d class C 1, por hipóts, tmos qu f é difrnciávl Obsrv qu a função vtorial g também é difrnciávl, uma vz qu suas funçõs coordnadas são difrnciávis D fato, a primira função coordnada d g é uma função polinomial a sgunda função coordnada d g é a composta da função f com a função g 1, qu também é difrnciávl, pois suas funçõs coordnadas são funçõs polinomiais Dsta forma, podmos aplicar a rgra da cadia aplicar dirtamnt os rsultados obtido m 1 2 Vamos supor qu f é função das variávis x y, i f fx, y, calcular inicialmnt Nst caso, tmos qu x, y 3 + x2 y, fy, x x2 y x2 y, fy, x 3 fy, x3 2xy 3 + x2 y, fy, x x2 y, fy, x 3 fy, x3 Para calcular fy, x3, dvmos novamnt aplicar a rgra da cadia Dsta forma, tmos qu fy, x3 y, x3 y + y, x3 x3 3x 2 y, x3

16 Cálculo 2B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis Podmos concluir ntão qu x, y 2xy 3 + x2 y, fy, x x2 y, fy, x 3 fy, x3 2xy 3 + x2 y, fy, x 3 + Vamos calcular agora Nst caso, tmos qu +3x x2 y, fy, x 3 y, x3 x, y 3 + x2 y, fy, x x2 y x2 y, fy, x 3 fy, x3 x x2 y, fy, x x2 y, fy, x 3 fy, x3 Para calcular fy, x3, dvmos novamnt aplicar a rgra da cadia Dsta forma, tmos qu Podmos concluir ntão qu fy, x3 y, x3 y + y, x3 x3 y, x3 x, y x2 3 + x2 y, fy, x x2 y, fy, x 3 fy, x3 x x2 y, fy, x x2 y, fy, x 3 y, x3 b Tmos qu a quação do plano tangnt ao gráfico d h no ponto 1, 2, 4 é dada por z h1, 2 + 1, 2x 1 + 1, 2y 2 Como o ponto 1, 2, 4 prtnc ao gráfico d h s só s h1, 2 4, para ncontrarmos a quação do plano tangnt ao gráfico d h no ponto 1, 2, 4, basta ncontrarmos

17 Cálculo 2B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis , 2 1, 2 Sndo assim, vamos substituir os valors dados nas quaçõs d ncontradas acima Dsta forma, tmos qu 1, , f2, , , f2, 1 2, 1 5, 3 2, 1 1, , f2, 1 + 5, 3 + 5, f2, 1 2, 1 5, 3 2, 1 Portanto, tmos qu a quação do plano tangnt ao gráfico d h no ponto 1, 2, 4 é dada por z x y Exmplos Grais Vamos agora fazr alguns xmplos nvolvndo composiçõs d funçõs mais grais Exmplo 1251: Sjam f x, y x 2, xy, h u, v uv, u 2, g : R 2 R 2 difrnciávl F h g f Calcul DF 2, 1 sabndo qu g 4, 2 3, 1, g 2, 1 4, 2 0 π qu Dg 4, Dg 2, Solução: Pla rgra da cadia, tmos qu DF 2, 1 Dh g f 2, 1 Dg f 2, 1 Df 2, 1 Como f 2, 1 4, 2, tmos qu g f 2, 1 g 4, 2 3, 1 Dg f 2, 1 0 π Dg 4, 2 1 Dsta forma, sgu qu 2 DF 2, 1 Dh 3, 1 0 π 1 Df 2, 1 2

18 Cálculo 2B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis v u 2x 0 Além disso, tmos qu Dh u, v Df x, y, d modo qu 2u 0 y x h 3, 1 Df 2, 1 Sgu portanto qu π DF 2, π 2π π π π 12π Exmplo 1242: Considr a função fu, v u 3 v, 2v 2 6u 2, 3uv, u 2 + v 2 Sja g : R 4 R 2 uma função d class C 1 sja F a função dfinida por F g f a Dtrmin DF 1, 2, sabndo qu g2, 2, 6, 5 2, 3 qu Dg2, 2, 6, 5 é uma das matrizs a sguir: ou b Dtrmin a função afim qu mlhor aproxima F numa vizinhança do ponto 1, 2 Solução: a Em primiro lugar, obsrv qu g é uma função d class C 1, por hipóts, o qu significa qu g é difrnciávl Da msma forma, tmos qu f é d class C 1, pois suas funçõs coordnadas são polinomiais, o qu significa qu f também é difrnciávl Sndo assim, como f g são difrnciávis, tmos qu F g f é difrnciávl, além disso, podmos aplicar a rgra da cadia para obtr DF 1, 2 No Exmplo 1242, obtivmos qu DF 1, 2 Dg f 1, 2 Df 1, Como f 1, 2 2, 2, 6, 5, tmos qu Dg f 2, 1 Dg 2, 2, 6, pois, como g : R 4 R 2, tmos qu Dg2, 2, 6, 5 M 2 4 Dsta forma, sgu qu DF 1, 2 Dg 2, 2, 6, 5 Df 1, Df 1, u 2 v u Além disso, tmos qu Df u, v 12u 4v 3v 3u, d modo qu Df 1, u 2v 2 4,

19 Cálculo 2B - Notas d Aula m construção - Prof a Dnis Sgu portanto qu DF 1, Df 1, b Tmos qu a transformação afim qu mlhor aproxima a função F uma vizinhança d ponto 1, 0 é dada por u 1 Lu, v F 1, 2 + DF 1, 2, u, v R 2 v 2 Já calculamos DF 1, 2 no itm antrior Falta calcularmos F 1, 2 F 1, 2 g f 1, 2 g 2, 2, 6, 5 2, 3 Sgu, portanto, qu Lu, v u v 2 2 2u 1 5v v 2 2 2u + 2 5v v 2 2u 5v + 14 v + 1, u, v R 2