TÓPICOS. EDO de variáveis separadas. EDO de variáveis separáveis. EDO homogénea. 2. Equações Diferenciais de 1ª Ordem.

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1 ot bm a litura dsts apontamntos não dispnsa d modo algum a litura atnta da bibliograia principal da cadira Cama-s à atnção para a importância do trabalo pssoal a ralizar plo aluno rsolvndo os problmas aprsntados na bibliograia sm consulta prévia das soluçõs propostas anális comparativa ntr as suas rsposta a rspostas propostas postrior posição junto do docnt d todas as dúvidas associadas. ódulo TÓPICOS EDO d ª ordm: orma gral normal dirncial. EDO d variávis sparadas. EDO d variávis sparávis. EDO omogéna EDO acta. EDO s rdutívis a actas. EDO linar. EDO s rdutívis a linars.. Equaçõs Dirnciais d ª Ordm... Forma Gral ormal Dirncial Uma quação dirncial ordinária d a ordm é da orma gral F 0. os casos m qu a quação s pudr plicitar m ordm a pod sr scrita na orma normal ou ainda na orma dirncial d d 0.. A EDO d a ordm pod sr scrita na orma gral: 0 ; na orma normal ; na orma dirncial d d d d d 0 d Pro. José Amaral AT

2 A T E Á T I C A A P L I C A D A T U R A L T D.. EDO d variávis sparadas Uma EDO diz-s d variávis sparadas s or da orma d d 0 A solução gral rsulta imdiatamnt por intgração dircta d d C. Dada a EDO d a ordm d variávis sparadas a solução é imdiata: d 0 d d d C ln C ln C.. EDO d variávis sparávis Uma EDO diz-s d variávis sparávis s or da orma d d 0 A solução gral rsulta imdiatamnt por intgração dircta d d C. Dada a EDO d a ordm d d 0 tmos d d d 0 d ln ln ln d C ln d 0 C C ln ln C ln ln C C Pro. José Amaral AT

3 A T E Á T I C A A P L I C A D A T U R A L T D Pro. José Amaral AT Dada a EDO d a ordm tmos C C C d d d d d d.. Funçõs omogénas Rvisõs. Uma unção diz-s omogéna d grau n nas variávis s para todo R or n.. Dada tmos: logo é uma unção omogéna do grau. 5. Dada sc tmos: sc sc logo é uma unção omogéna d grau Dada tmos: logo não é uma unção omogéna.

4 A T E Á T I C A A P L I C A D A T U R A L T D.5. EDO omogéna. Uma EDO d a ordm diz-s uma quação omogéna s a unção or omogéna d grau 0. O msmo é dizr: uma EDO d a ordm na orma dirncial d d 0 diz-s omogéna s orm unçõs omogénas do msmo grau d omognidad. Para dtrminar a solução gral d uma EDO omogéna procdmos à mudança d variávl u portanto d du ud qu transorma a quação original numa EDO d variávis sparávis m u. 7. Dada a EDO d a ordm tmos 8. Dada a EDO d a ordm du ud d udu u d d u d d d udu d ln C u u udu d udu d 0 udu d C u ln C sn tmos du d C u sn d sn d du ud u u sn d du u u sn u d du d sn u Calculando os intgrais procdndo à substituição solução gral tan C u cgamos inalmnt à Pro. José Amaral AT

5 A T E Á T I C A A P L I C A D A T U R A L T D.6. Drivação parcial d ª ordm Rvisõs. Sja uma unção d duas variávis um ponto a b do su domínio. Fazndo b m dinimos uma unção d uma variávl b. S b or dirnciávl m a din-s a drivada parcial d m ordm a no ponto a b como a b a b a b lim 0 D modo similar s din a drivada parcial d m ordm a no ponto a b a b a b a b lim 0 Ou sja nos pontos m qu b or dirnciávl podmos calcular drivando como s oss a variávl constant usando as rgras d drivação concidas m R d modo análogo para drivando como s oss a variávl constant. 9. Sndo tmos as drivas parciais ot-s qu d d d d d d d d d d ainda multiplicando ambos os mmbros por d d d d sta rlação mbora dduzida a partir dst mplo particular é gnralizávl a qualqur unção dsigna-s por dirncial da unção. 0. O dirncial da unção ln é d ln d d dado qu ln. Pro. José Amaral AT

6 A T E Á T I C A A P L I C A D A T U R A L T D.7. EDO acta. Uma EDO d a ordm d d 0 diz-s uma quação dirncial acta s Para dtrminar a solução gral C 0 d uma EDO acta rsolvmos m ordm a o sistma d quaçõs d. A EDO d a ordm d d 0 é uma quação dirncial acta dado qu Logo a solução gral é dtrminávl rsolvndo o sistma d quaçõs Assim d d d plo qu Por outro lado implica qu plo qu d d d d d 0 C d C logo a solução gral procurada é C 0 Pro. José Amaral AT

7 A T E Á T I C A A P L I C A D A T U R A L T D Pro. José Amaral AT EDO s rdutívis a actas. Uma EDO d a ordm 0 d d diz-s uma quação rdutívl a dirncial acta s istir uma unção tal qu 0 d d sja uma quação dirncial acta. A unção diz-s um actor intgrant. ão ist uma rgra gral para dtrminar o actor intgrant. Para dtrminados tipos d quaçõs istm actors intgrants concidos qu constam d tablas. Vamos vr dois mplos:. S g o actor intgrant é d g. S o actor intgrant é d Para dtrminar a solução gral dado qu a quação oi rduzida a uma EDO dirncial acta rcorr-s ao método visto no ponto antrior d. A EDO d a ordm 0 d d não é uma quação dirncial acta o ntanto é unção apnas d g plo qu a unção d d g ln é um actor intgrant. a vrdad d d d d d d é uma EDO dirncial acta Podmos agora dtrminar a solução gral a partir do sistma d quaçõs

8 A T E Á T I C A A P L I C A D A T U R A L T D Pro. José Amaral AT d Assim d plo qu d d d d Por outro lado d d implica qu C d d 0 plo qu C logo a solução gral procurada é 0 C. A EDO d a ordm 0 d d não é uma quação dirncial acta 6 8 o ntanto é unção apnas d plo qu a unção ln d d é um actor intgrant plo qu a EDO é rdutívl a dirncial acta acilmnt intgrávl.

9 A T E Á T I C A A P L I C A D A T U R A L T D.9. EDO linar. Uma EDO d a ordm diz-s linar s or do o grau na unção incógnita na sua a drivada podndo rprsntar-s por P Q S Q 0 a quação diz-s linar omogéna s Q 0 diz-s linar complta. A solução gral é da orma u v com v u P d Q d C v. A EDO d a ordm é uma quação linar com P Q A solução gral é da orma u v com v P d d ln ln u Q d C v C d C d C ou sja C 5. A EDO d a ordm é uma quação linar com P Q A solução gral é da orma u v com v P d d u Q d C v d C d C C ou sja C Pro. José Amaral AT

10 A T E Á T I C A A P L I C A D A T U R A L T D.0. EDO s rdutívis a linars. A maioria das quaçõs dirnciais não linars não tm soluçõs concidas. Vamos vr dois tipos d ED não linars cuja solução gral é obtida por convrsão m ED linars.0.. Equação d Brnoulli. Uma EDO d a ordm diz-s uma quação d Brnoulli s or da orma com R \ { 0} P Q α para α 0 ou α a quação é linar. A solução gral é dtrminada rduzindo a quação d Brnoulli a uma quação linar através dos sguints passos. Dividir ambos os mmbros da ED por α. α α. Fazr a substituição d variávl z. Rsolvr a ED linar m z.. Fazr a substituição d variávl z α d ond α z. α 6. A EDO d a ordm Q é uma quação d Brnoulli com P α. Dividindo ambos os mmbros por Fazndo a substituição d variávl aconslada α z α z z. α z rsulta z rsulta a ED: z z z qu é uma quação linar m z z P z Q com P Q logo a solução é do tipo z u v com P d d v u Q d C v C d C d C d C d C plo qu z C C Fazndo agora a substituição d variávl α z tmos inalmnt C Pro. José Amaral AT

11 A T E Á T I C A A P L I C A D A T U R A L T D.0.. Equação d Riccati. Uma EDO d a ordm diz-s uma quação d Riccati s or da orma P Q R A solução gral pod sr dtrminada s or concida uma solução particular k sndo dada por com k C R d Q kr d 7. A EDO d a ordm é uma quação d Riccati com P Q Concida a solução particular k tmos R Q kr d d d d ln d plo qu k C C R d d D ond atndndo às propridads d dado qu C é uma constant arbitrária rsulta inalmnt a solução gral C Pro. José Amaral AT

12 A T E Á T I C A A P L I C A D A T U R A L T D.. Aplicaçõs.... Trajctórias ortogonais. Dada uma amília d curvas camam-s trajctórias ortogonais às curvas qu intrsctam a amília dada sgundo um ângulo d 90. Para dtrminar a quação das trajctórias ortogonais à amília F C 0. Dtrmina-s a ED associada à amília d curvas. Substitui-s na ED por dtrminando assim a ED associada à amília das trajctórias ortogonais procura-s a solução gral dsta ED. 8. Dada a amília d linas C Podmos por drivação C ln C C liminação da constant dtrminar a ED qu l stá associada ln C C ln ln Substituindo por dtrminamos a ED associada à amília das trajctórias ortogonais cuja solução gral ln ln 0 ln 0 d ± ln d C ln ln C C ln C nos dá a amília das trajctórias ortogonais à amília C d curvas. A igura. ilustra o mplo mostrando algumas das curvas da amília a azul as rspctivas trajctórias ortogonais a vrmlo. Figura. Pro. José Amaral AT