UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Ciência da ComputaçãoUFRJ. Cálculo Numérico. S. C. Coutinho. Provas e gabaritos

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Ciência da ComputaçãoUFRJ Cálculo Numérico S. C. Coutinho Provas e gabaritos Lembre-se: Nas provas não são aceitas respostas sem justicativa. Você deve saber explicar tudo o que zer.

2 DCC-UFRJCálculo numérico Primeira ProvaTurma EC225/2 Questão (4 pontos) Considere as funções f (x) = e x/4 e f 2 (x) =, 982/x. (a) Invente uma função g(x), diferente da que é dada pelo método de Newton, cujo ponto xo é o ponto de interseção dos grácos de y = f (x) com y = f 2 (x). (b) Verique que a iteração dada por x n+ = g(x n ) é convergente no intervalo [, 2]. (c) Determine uma aproximação numérica, correta até a segunda casa decimal, do ponto xo de g(x), partindo do ponto x =, 3. (d) Determine uma aproximação numérica, correta até a segunda casa decimal, do ponto de interseção de y = f (x) com y = f 2 (x), usando o método de Newton, com ponto de partida x =, 3. O ponto de interseção é dado por f (x) = f 2 (x); isto é, por e x/4 =, 982/x, que podemos reescrever na forma x =, 982/e x/4. Isto sugere tomar g(x) =, 982e x/4. Para mostrar que a iteração converge em [, 2], usamos o teorema do valor médio para escrever x n+ ξ = g(x n ) g(ξ) = g (c) x n ξ, em que ξ é o ponto xo de g e c está entre x n e ξ. Mas g (x) =, 982 e x/4. 4 Como e x/4 é uma função crescente, sua inversa e x/4 = /e x/4 é decrescente. Logo, g (x) =, 982, 982 < 4ex/ <, para todo x. Iterando a função g a partir de x =, 3, obtemos os seguintes valores para x n e o erro e n : n x n e n, 432, 32 2, 386 4, , 42, , 396 5, Portanto, a aproximação desejada é x 4 =.396. Finalmente, precisamos achar um zero de e x/4 =, 982/x usando o método de Newton. Para facilitar as contas, vou rearrumar a equação na forma xe x/4, 982 =, de modo que o problema Page 2

3 consiste em calcular um zero da função h(x) = xe x/4, 982 pelo método de Newton. Como h (x) = e x/4 + xex/4 = x + 4 e x/4 4 4 a iteração do método de Newton-Raphson é dada por x n+ = x n 4 x ne x/4, 982 (x n + 4)e xn/4 = x2 ne xn/4 + 7, 932 (x n + 4)e xn/4. Calculando a iteração pedida, temos n x n e n Portanto, a aproximação desejada é.398. Questão 2 (4 pontos) Considere o sistema linear x + 4y + z = 7 3x + y z = 3 5x + 3y 22z = 48. (a) Calcule a decomposição PLU da matriz do sistema. (b) Calcule a solução exata do sistema. (c) Rearrume o sistema de modo que o método de Jacobi seja convergente e calcule duas iterações por este método, partindo de v () = [,, ] t (d) Calcule os erros absoluto e relativo cometidos, no cálculo feito em (c), para a cordenada y da solução do sistema, arredondando para três casas decimais. A matriz do sistema é Vamos aplicar eliminação gaussiana a esta matriz. Como a posição, é não nula, não há necessidade de trocar linhas de posição. Ao nal da eliminação com o pivô na posição,, obtemos: 4 U = e L = 3 5 Page 3

4 Mas uma vez não há necessidade de trocar linhas de lugar, porque a posição 2, 2 não é nula. Ao nal desta etapa, obteremos 4 U = 4 e L = 3 ; além de P, que será igual à matriz identidade 3 3. Por outro lado, multiplicando 4 x 7 3 y = z 48 à esquerda por L, obtemos 4 x y = 3 3 = 8, 29 z donde x =, y = 2 e z =. Passando à letra (c), trocamos a primeira equação o sistema com a segunda, para obter a matriz 3 A = cuja diagonal é estritamente dominante. Com isto o método de Jacobi converge para esta matriz. Não esqueça que também preciamos trocar as posições das duas primeiras entradas no vetor de constante, que passa a ser 3 b = 7, 48 Como = 4 +, o sistema pode ser reescrito na forma 3 x 4 y = 22 z 5 3 x y + z da qual extraímos a iteração do método de Jacobi: 3 x n+ x n 4 y n+ = y n + 22 z n+ 5 3 z n , Page 4

5 Aplicando duas vezes esta iteração com v = [,, ] t, obtemos 3 v = 7. e v 2 = Com isso, o erro absoluto cometido no cálculo da coordenada y é = 8 = e o erro relativo correspondente é = 8 = Questão 3 (3 pontos) Dê exemplo de: (a) uma função f : R R que tem um único zero, mas para a qual o método de bisseção não funciona; (b) uma matriz A, de tamanho 2 2 e com nas duas posições da diagonal, de modo que a matriz R correspondente à iteração x n+ = Rx n + c do método de Gauss-Seidel tem raio espectral maior que ; (c) um polinômio de grau dois para o qual o método de Newton alterna entre os valores e 2. Um exemplo para (a) é f(x) = x 2, porque todo o gráco está de um lado só do eixo x, de modo que não podemos aplicar o teorema do valor intermediário. Para (b), vou considerar a matriz e calcular A = [ ] b = c [ ] + c [ ] b [ ] [ ] b R = (D + L) U =. c Como [ ] = c de modo que R = (D + L) U = [ ] c [ ] [ ] b c = [ ] b cb Page 5

6 Para que R tenha raio espectral maior que é necessário que bc >. Finalmente, para resolver (c), suporemos que f(x) = x 2 + ax + b. Calculando a iteração do método de Newton-Raphson para este polinômio, obtemos g(x) = x x2 + ax + b 2x + a = x2 b 2x + a. Queremos que g() = b 2 + a que corresponde ao sistema linear = 2 e que g(2) = 4 b 4 + a = ; 2a + b = 3 a + b =. Resolvendo o sistema, obtemos a = 3 e b = 3, de modo que o polinômio desejado é x 2 3x + 3. Page 6

7 DCC-UFRJCálculo numérico Segunda ProvaTurma EC225/2 Questão (3 pontos) A tabela abaixo foi obtida como resultado de um experimento relativo à variação da temperatura T (em graus Celsius) com a posição x (em centímetros): T x (a) Use interpolação entre os pontos de posição.,.2 e.4 para calcular a temperatura na posição.3 com arredondamento para três casas decimais. (b) Determine a curva da forma T = ae bx que melhor se ajusta aos dados da tabela e use a fórmula assim obtida para calcular T (.3) com três casas decimais. O polinômio interpolador é (x.2)(x.4) (x.)(x.4) (x.)(x.2) P = (..2)(..4) (.2.)(.2.4) (.4.)(.4.). Substituindo x =.3, obtemos P (.3) = Para achar a curva exponencial T = ae bx que melhor se ajusta a estes dados aplicamos logaritmo natural a esta equação obtendo ln(t ) = ln(a) + bx. Escrevendo α = ln(a) a equação toma a forma ln(t ) = α + bx. Para poder montar o sistema, precisamos dos logaritmos dos valores de T dados na tabela: T ln(t ) x A matriz de Vandermonde correspondente é..2 V = de modo que a equação normal é dada por [ ] α V t V = V t b b Page 7

8 em que Como V t V = b = [ 5 ] obtemos, ao resolver o sistema, que e V t b = α = 3.4 e b = [ ] Levando em conta que a = e α = 2.37, a relação entre T e x que melhor se adapta aos dados é T = 2.37 exp(3.54x). A aproximação para T (.3) resultante desta expressão é Questão 2 (3 pontos) A área do círculo x 2 + y 2 = é igual a π. (a) Determine uma aproximação para a área limitada por este círculo no primeiro quadrante usando o método de Simpson com h =.25 e determine uma estimativa para π a partir disto. Expresse o resultado com três casas decimais. (b) Seja f(x) = x 2. Sabendo-se que f () =, que f ( 2/2) = 2/2 e que f (x) não se anula no intervalo aberto (, ), determine h de modo que a integração pela regra do trapézio produza o valor de π correto até a segunda casa decimal. Se f(x) = x 2 então, pelo método de Simpson, f(x)dx = h 3 (f(x ) + f(x 4 ) + 2f(x 2 ) + 4(f(x ) + f(x 3 ))) Tabelando os valores de f(x i ) obtemos i x i f(x) Substituindo na fórmula e efetuando os cálculos f(x)dx =.25 ( ( )) = Page 8

9 Arredondando para 3 casas decimais, obtemos.77, de modo que o valor de π correspondente será 4.77 = Para obter π correto até a segunda casa decimal com os dados de (b) precisamos que a integral entre e 2/2 seja igual a 3.4/4 =.785 quando calculada com 4 decimais corretas. Pela fórmula do erro para o método do trapézio devemos ter, portanto, que 3 ( 2)h 2 f (ξ) > 2, para algum ξ (, 2/2). Como f (x) não se anula em (, ), os valores dados para f (x) mostram que a f (x) é crescente em (, 2/2). Logo, considerando o intervalo de integração como sendo [, 2/2], temos que 3 2h 2 f (ξ) > 2 > 2h2 = 2 2h 2 2. Segue-se disto que h 2 < ; donde teria que ser menor que.92. Note que não é possível usar o intervalo [, ] no cálculo do erro porque a função f x (x) = x 2 não é limitada neste intervalo. Questão 3 (3 pontos) Considere o problema de valor inicial y y 2 cos(x) = e y() =. (a) Descreva a recorrência do método de Euler modicado no caso especíco do problema de valor inicial acima. (b) Calcule o valor de y() usando o método de Euler modicado com passo.5. Sua resposta deve incluir todos os valores intermediários das variáveis calculados ao longo da execução do algoritmo. Page 9

10 A iteração é dada por y() = yn+ = y n + hyn 2 cos(x n ) y n+ = y n + h ( y 2 2 n cos(x n ) + (yn+) 2 cos(x n+ ) ) Aplicando-a com x n = n.5, obtemos os dados tabelados abaixo: n 2 x n.5 yn y n Portanto, o valor desejado é y() = Questão 4 (2 pontos) Considere o problema de valores de contorno y = 3y + y + x 2, y() = 2 e y(3) =. Calcule y() usando o método de diferenças nitas com h =. Substituindo as aproximações y (x n ) y n + y n+ 2h na equação e levando em conta que h =, obtemos donde, quando n =, e, quando n = 2, y n+ 2y n + y n = 3(y n+ + y n ) 2 e y (x n ) y n+ 2y n + y n h 2 + y n + x 2 n, 2(y 2 2y + y ) = 3(y 2 + y ) + 2y (y 3 2y 2 + y ) = 3(y 3 + y ) + 2y Levando em conta que y() = 2 e y(2) =, obtemos 6y y 2 = 2 5y 6y 2 = 3. Resolvendo o sistema y = 5 e y 2 = 2. Portanto, y() 5. Page

11 DCC-UFRJCálculo numérico Primeira ProvaCiência da Computação26/2 Questão (4 pontos) Considere o sistema linear AX = b, em que A = 5 2 e b = (a) Calcule a decomposição PLU da matriz do sistema, usando pivoteamento parcial. (b) Calcule as matrizes R e c tais que x = Rx + c é a iteração obtida aplicando-se o método de Gauss a este sistema. (c) Calcule o autovalor dominante de R com erro menor que usando o método da potência a partir de u = [,, ] t / 3. (d) O que o resultado obtido em (c) nos diz sobre a convergência da iteração x n+ = Rx n + c? Aplicando eliminação gaussiana, temos /3 8/3 2 / /3 Portanto, P é a matriz identidade, U = 6/3 8/3 e L = /9 4 /3 (b) Decompondo A na forma A = 5 2 = temos que 9 R = e c = Como =, Page

12 então, R = e c = Várias pessoas zeram Jacobi, em vez de Gauss-Seidel. (c) Ao nal do primeiro laço temos w = R u = = normalizando w e calculando a aproximação do autovalor correspondente, obtemos.834 u =.4983 e λ = u t Ru = Como Como o erro será λ = u t Ru = λ λ = =.257 é maior que. precisamos executar mais um laço. Desta vez.3322 w 2 =.66 donde.8655 u 2 =.4327 e λ 2 = Como o processo para λ λ 2 = =.83 <., Logo a aproximação desejada para o autovalor dominante é Algumas pessoas iteraram A, em vez de R. (d) Como o maior autovalor em módulo é.3644, o raio espectral de R tem que ser menor que. Logo, a iteração do método de Gauss-Seidel converge para a solução do sistema. A pergunta diz respeito à convergência de Gauss-Seidel e não à convergência do método da potência. Questão 2 (6 pontos) Considere a função f(x) = x cos(x) x 2 8x com domínio no intervalo [, ]. Page 2

13 (a) Determine uma função g(x) cujo ponto xo é um zero de f(x) e prove que a iteração x n+ = g(x n ) converge no intervalo [, ]. (b) Use esta iteração com x = para achar o zero de f(x) com erro inferior a 2. (c) Calcule o polinômio interpolador pelos pontos (f(x i ), x i ), em que x =, x =.5 e x 2 =. (d) Calcule o zero de f(x) (arredondado para duas casas decimais) usando o polinômio interpolador e determine o erro absoluto que seria cometido se achássemos o zero por este método. (e) Calcule o polinômio linear que melhor se ajusta aos pontos de (c) usando o método dos mínimos quadrados. O item (a) desta questão vale 2 pontos. f(x) = nos sugere escrever donde 8x = x cos(x) x 2 g(x) = x cos(x) x2. 8 Para mostrar que esta iteração converge, precisamos calcular a derivada de g(x): g (x) = x sen (x) + cos (x) 2 x. 8 Como x, cos(x) e sen(x) são todos menores ou iguais a, temos pela desigualdade triangular que g (x) = x sen(x) + cos(x) 2x x sen(x) + cos(x) + 2 x = 2, para todo x [, ]. Portanto, a iteração dada por x n+ = g(x n ) para a função x n escolhida realmente converge no intervalo [, ]. Iterando a partir de x =, temos i x i g(x i ) erro Logo, a aproximação desejada para o zero de f(x) no intervalo [, ] é.452. (c) e (d) Tabelando os pontos, obtemos f(x i ) x i..5. de modo que o polinômio interpolador, calculado pelo método de Lagrange é p(x) =.2 x x.482. Page 3

14 O zero de f(x) calculado a partir do polinômio interpolador é p() = e o erro absoluto, quando calculamos o zero de f(x) desta maneira é.5.4 =.. Muita gente errou as questões (c) e (e) porque interpolou os pontos (x i, f(x i )) em vez de (f(x i ), x i ), como foi pedido. (e) A matriz de Vandermonde é V =. 4.8 ao passo que b =.. donde v t V = [ ] Logo, a equação normal é [ ] [ ] a b cujas soluções são e c = = [ ] 2 [ ] [ ].5, 6.65 a =.55 e b =.5. Donde a reta desejada é y =.5x.55. Page 4

15 DCC-UFRJCálculo numérico Segunda ProvaCiência da Computação26/2 Questão (2 pontos) Use o método de Newton para calcular o máximo da função f(x) = x(3 e x/4 ) no intervalo [2., 2.5] com tolerância inferior a 2. Você deve vericar que o ponto que obteve é, de fato, um máximo de f. O máximo é um zero da primeira derivada de f, que é igual a f (x) = (3 e x/4 ) + x( 4 ex/4 ) = 3 (4 + x) e x/4. 4 Portanto, devemos aplicar o método de Newton a esta função. Como f (x) = 4 ex/4 (4 + x) e x/4 (8 + x) = e x/4, 6 6 a iteração do método de Newton será x k+ = g(x k ), com 2 (4 + x)ex/4 g(x) = x 4 = 48 + (x2 + 4x 6)e x/4. (8 + x)e x/4 (8 + x)e x/4 Iterando a partir de x = 2., x = g(2.) = 2.5 x 2 = g(2.5) = 2.47 x 3 = g(2.47) = 2.47 Com isto achamos o ponto crítico x 2.47, que é, de fato, um máximo, porque f (2.47) = Questão 2 (3 pontos) Seja I n o valor aproximado da integral x + dx calculado usando a regra do trapézio com [, ] subdividido em n partes iguais. (a) Prove que esta integral é igual a ln(2). (b) Calcule I 4. A diferença I 4 ln(2) é positiva ou negativa? Page 5

16 (c) Explique porque, qualquer que seja n, a diferença I n ln(2) terá sempre o mesmo sinal que I 4 ln(2). Fazendo a substituição u = x + a integral se torna 2 du = ln(x) u=2 u= = ln(2) ln() = ln(2). u Para calcular I 4, devemos tomar h = /4, de modo que, pela regra do trapézio I 4 = ( ) = =.697. Logo, a diferença é I 4 ln(2) = =.4 >. A diferença será sempre positiva porque a função /(x + ) tem concavidade para baixo. Com isso, qualquer segmento de reta entre dois pontos da curva ca sempre acima do arco da curva. Questão 3 (3 pontos) Considere o problema de valor inicial ẏ = t cos(y) e y() =. (a) Calcule uma aproximação para y() usando o método de Runge-Kutta de segunda ordem com h =.5. (b) Use o resultado de (a) para calcular uma aproximação para ÿ(). Aplicando o método de Runge-Kutta de segunda ordem ao problema dado, obtemos a iteração y k+ = y k +.25(t k cos(y k ) + (t k +.5) cos(y k +.5t k cos(y k ))). Como y =, então y =.25 e y 2 =.48. Para (b), usamos a regra da cadeia, para obter de ẏ = t cos(y) que Portanto, ÿ = d(t cos(y)) dt = cos(y) t sen(y)ẏ = cos(y) t 2 sen(y) cos(y) ÿ() cos(y 2 ) t 2 2 sen(y 2 ) cos(y 2 ) =.476. Page 6

17 Questão 4 (2 pontos) Considere o problema de valores de contorno y + 4xy = x 2, com y() = e y(3) =. (a) Determine o sistema linear obtido aplicando-se a este problema o método das diferenças nitas com passo h. Você deve explicitar de que forma as condições de contorno afetam o sistema. (b) Resolva o sistema para h = e calcule os valores de y() e y(2). Substituindo as aproximações na equação, obtemos y (x k ) y k+ y k 2h e y (x k ) y k+ 2y k + y k h 2 Escrevendo y k+ 2y k + y k h 2 as condições de contorno serão + 2x k y k+ y k h n = (3 )/h = 3/h = x 2 k. y = y n =. Quando k =, y 2 2y + y y 2 y + 2x h 2 = x 2 h ; que, levando em conta y = e que x = h, torna-se Por outro lado, quando k = n, 2h 2 + h 2 y 2 2 h 2 y = h 2. ( 2x n h + ) y h 2 n 2 2 h y 2 n = x 2 n. Portanto, no caso especíco em que h =, o sistema que devemos resolver é 2y + 3y 2 = 3y 2y 2 = 4, cujas soluções são y = 4 3 e y 2 = 5 3. Page 7

18 DCC-UFRJCálculo numérico Prova FinalCiência da Computação26/2 Questão (3. pontos) As seguintes iterações foram propostas como maneiras de calcular a interseção dos grácos das funções sen(x) e f(x) = 2x + 2: g (x) = 2 sen(x) x g 2 (x) = (2 sen(x))/2 g 3 (x) = ( sen(x) + x cos(x) + 2)/(2 + cos(x)). (a) Explique como cada uma destas iterações foi obtida. (b) Para quais destas iterações podemos garantir a convergência a partir de x =? (c) Qual destas iterações você espera que vá convergir mais rapidamente? g e g 2 são obtidas a partir de manipulações algébricas simples, já g 3 corresponde ao método de Newton. Para a iteração dada por g i (x) ser convergente, é necessário que g i(x) < para todo x real. Mas, ao passo que g (x) = cos(x) cos(x) + 2, g 2(x) = cos(x)/2 /2. Portanto, não podemos garantir a convergência de g, mas g 2 e g 3 são convergentes. A terceira converge mais rapidamente que a segunda, porque a convergência do método de Newton é quadrática, ao passo que a convergência da segunda iteração é apenas linear, pois g 2(x). Questão 2 (2. pontos) Considere o sistema AX = b em que 4 5 A = e b = (a) Determine a decomposição PLU de A e resolva o sistema. (b) Ache matrizes R e c tais que x k = Rx k + c é a iteração de Jacobi do sistema. Page 8

19 A decomposição PLU é dada por P = I, 4 L = e U = As soluções do sistema são x = 2 4, y = 6, z = 9 2. Decompondo A na forma 4 4 A = = temos que /4 5/4 R = 2/3 /3 e c = 5/2 3 Questão 3 (. pontos) Qual o número n de partes em que é necessário dividir o intervalo [, ] para calcular a área sob o gráco de cos(x 2 ) com erro inferior a 4, usando o método de Simpson? O erro no método de Simpson é dado por para algum ξ [, ]. Como temos que 8 nh5 f (4) (ξ) = 8 ( 5 n 4 ) f (4) (ξ) f 4 (x) = 48 x 2 sin ( x 2) + ( 6 x 4 2 ) cos ( x 2) f 4 (x) = 6388 para todo x [, ]. Logo, uma cota superior para o módulo do erro é dada porque ( ) 5 5 f (4) (ξ) 6388 ( ) 5. 8 n 4 8 n 4 Tomando, ( ) , 8 n 4 obtemos n e, como n é inteiro, n Page 9

20 Questão 4 (2. pontos) Considere os pontos (, 3), (2, ), (4, 5), (5, 9), (6, 97), (9, 7). (a) Use o método de diferenças divididas para encontrar o grau e o coeciente do termo de maior grau do polinômio que interpola estes pontos. (b) Use o método dos mínimos quadrados para achar o polinômio de grau 3 que melhor se adapta a estes pontos. A tabela gerada pelo método de diferenças divididas é Como só precisamos dos quatro primeiros pontos para achar os coecientes do polinômio interpolador, isto signca que o polinômio é x 3 3x, que tem grau 3 e seu coeciente líder é.. Como o polinômio calculado via mínimos quadrados minimiza a distância entre seu gráco e os pontos dados e há um polinômio de grau três que passa por esses pontos, então o polinômio desejado é o mesmo calculado acima. Questão 5 (2. pontos) Considere o problema de valores de contorno xy 2y = 6, com y() = e y(5) =. (a) Determine o sistema linear nas variáveis y 2, y 3 e y 4 obtido aplicando-se a este problema o método das diferenças nitas com passo h = e resolva-o. (b) Calcule y (). Substituindo as aproximações y (x k ) y k+ y k e y (x k ) y k+ 2y k + y k 2h h 2 na equação e levando em conta que h =, obtemos Portanto, o sistema será (x k + )y k 2x k y k + (x ) y k = 6. 2y = 6 4y 2 + y 3 = 5 4y 2 6y 3 + 2y 4 = 6 5y 3 8y 4 = 6. Page 2

21 A matriz deste sistema é a mesma da segunda questão 4 A = cuja Para calcular y (), note que, derivando xy 2y = 6 obtemos y + xy 2y =, donde y = x y. Quando x =, obtemos y () = y () = (6 2y ()) 6 (y 2 y ) = 6 ( ) = 9 4. Page 2

22 Primeira ProvaTurma EC2UFRJ27.2 Justique cuidadosamente todas as suas respostas. Questão (2.5 pontos) Suponha que um computador C arredonda para duas casas decimais números escritos na notação padrão de ponto utuante e considere as funções f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x)2 + sen(x). (a) Mostre que f(x) = g(x) e determine os valores obtidos se C for usado para calcular f(.5) e g(.5). (b) Sabendo-se que f(.5) = g(.5) =.2553, determine o erro relativo correspondente a cada um dos cálculos executados em (a). Bonus track: por que f(.5) é menos preciso que g(.5)? Obtemos f(x) substituindo cos(x) 2 = sen(x) 2 = ( sen(x))( + sen(x)) em g(x) e cancelando + sen(x) no numerador e denominador. Como sen(.5) = e cos(.5) = , então as representações destes números no computador C serão sen(.5). e cos(.5).7. Portanto, ao passo que f(.5) =,.7 2 =.54.5 e + sen(.5) 2 nos dão g(.5).5 = Portanto os erros relativos correspondentes aos cálculos de f(.5) e g(.5) usando o computador C serão, respectivamente, = e =.2. Portanto, g(.5) tem um erro menor que f(.5) e deve ser a forma preferida para o cálculo deste número. A razão pela qual f(.5) produz um valor pior é que há uma subtração catastróca nesta função. Page 22

23 Duas casas decimais signica que o computador representa os números na forma.a a 2 m, com a obrigatoriamente não nulo. Como o computador C representa os números com apenas 2 casas, é necessário arredondar cada vez que um cálculo é realizado, e não apenas ao nal. O erro relativo é denido como x a x e / x e, em que x a é o valor aproximado e x e o valor exato e não x a x e / x a. Questão 2 (2.5 pontos) Seja P n (x) o polinômio de Taylor de f(x) = x ln(x) em x =. (a) Calcule a expressão do erro absoluto e n quando x >. (b) Determine n tal que o erro absoluto cometido quando usamos P n (.) como aproximação de f(.) seja inferior a. Calculando algumas derivadas, vemos que donde podemos deduzir que f (x) = ln(x) + f (x) = x f (x) = x 2 f (iv) (x) = 2x 3 f (v) (x) = 2 3 x 4, f (n) (x) = ( ) n (n 2)! x n de modo que o módulo do erro absoluto desejado será e n = (n )! c n (x ) n+ = c n (n + )! (x )n+ n(n + ) Como < c <., c n. Portanto, quando x =., temos a estimativa e n = c n (x )n+ n(n + ) n(n + ) (.)n+ = n(n + ) 2(n+). logo basta que n(n + ) < 2(n+), para que e n. Tabelando os valores vericamos que = quando n = 4 é o primeiro valor que dá menor que. Assim, P 4 (.) dá um erro absoluto inferior a. Várias pessoas calcularam a derivada errado! Page 23

24 Questão 3 (2.5 pontos) Considere o problema de valor de contorno y y +xy = 4 com y() = e y(5) =. (a) Determine o sistema linear obtido quando o método das diferenças nitas é aplicado a este problema com passo h =. (Não precisa resolvê-lo!) (b) use pivoteamento parcial para calcular a decomposição PLU da matriz do sistema obtido em (a). Substituindo as aproximações y (x k ) y k+ y k 2h e h = na equação, obtemos e y (x k ) y k+ 2y k + y k h 2 Note que x i = x + hi = i. Escrevendo as condições de contorno serão Quando k =, (2 x i 4) y i + y i+ + 3 y i = 8. n = (5 )/h = 4, y = e y 5 =. y 2 2 y = 8, pois y = e x =. Por outro lado, quando k = 4, teremos x 4 = 4 e 4 y y 3 = 8. Para k = 2 e k = 3 as equações serão, respectivamente, Obtemos, assim, o sistema A matriz deste sistema é y y = 8 e y y y 2 = 8, y 2 2 y = 8, y y = 8, y y y 2 = 8, 4 y y 3 = Em seguida, aplicamos eliminação com pivoteamento parcial, para achar as matrizes P, L e U. O pivoteamento parcial requer que façamos a troca das duas Page 24

25 primeiras linhas. Fazendo isto e eliminando a posição não nula da primeira coluna, obtemos as matrizes: 3 P =, L = 2 3, U = Mais uma vez o pivoteamento requer que troquemos a segunda e a terceira linhas, antes de fazer a eliminação, o que nos dá 3 P =, L = 2, U = Com uma última troca de linhas, chegamos às matrizes desejadas, que são: 3 P =, L =, U = Questão 4 (2.5 pontos) Segundo a lei de Lotka, a relação entre a quantidade x de publicações e a porcentagem y de autores (em um certo período) que publicaram x artigos é dada por y = cx n. Os valores de c e n dependem da área de pesquisa que está sendo considerada. A tabela abaixo mostra a relação entre x e y para artigos importantes de física até 9: x y (a) Use logaritmos em base 2 para reescrever a lei de Lotka como uma relação linear. (b) Calcule estimativas de c e n, pelo método dos mínimos quadrados, usando os dados da tabela. (c) Use os valores de c e n que você determinou para prever qual seria a porcentagem do total de publicações representada pelos autores que publicaram artigos. Lembrete: log 2 (a) = log (a)/ log (2) log (a)/3. Page 25

26 Aplicando logaritos em base 2 aos dois lados de y = cx n, obtemos log 2 (y) = log 2 (c) n log 2 (x). Para poder aplicar mínimos quadrados precisamos tabelar log 2 (y) contra log 2 (x): Portanto, log 2 (x) 2 3 log 2 (y) V = 2 e b = 3 Escrevendo l = log 2 (c) e levando em conta que [ ] 4 6 V t V = e 6 4 precisamos apenas resolver o sistema cujas soluções são Como, a fórmula da lei de Lotka neste caso é Portanto, quando x =, 6.n + 4.l =.8 4.n + 6.l = 7.59, [ n = 2.2 e l = c = = 62.3 y = 62.3x 2.2. y = = y =.59.. Os dados da tabela foram retirados do artigo original do Lotka: A. J. Lotka, The frequency distribution of scientic productivity, Journal of the Washington Academy of Sciences. 6 (926), O valor exato para y em x = é.6. ], Page 26

27 Segunda ProvaTurma EC2UFRJ27.2 Questão (2.5 pontos) Considere a função f(x) = 2 sen( x) x. (a) Determine uma função g(x), diferente da obtida pelo método de Newton, cujo ponto xo é um zero de f(x). (b) Sabendo-se que a iteração x k+ = g(x k ) tem um ponto xo no intervalo [.5, 3], prove que ela converge para este ponto no intervalo dado. (c) Use g(x) para calcular o zero de f(x) em [.5, 3] com erro inferior a., começando de x =.5. Tomando temos que de modo que g(x) = 2 sen( x), g (x) = cos( x) x ; g (x) = cos( x) x x. Como / x é decrescente quando x >, temos que g (x) x <.5.82, o que garante a convergência de g(x) para o ponto xo no intervalo dado. Iterando, obtemos k x k x k x k O maior problema nesta questão foi com a estimativa da cota superior para g (x). Muita gente testou apenas os extremos. Neste caso particular a função é decrescente, de modo que o máximo é atingido no extremo esquerdo do intervalo; mas, para usar isto, você teria que vericar que a função é decrescente, o que a vasta maioria não fez. Além disso, não basta mostrar que g (x) < para todo x [.5, 3]; é necessário mostrar que existe um número real L <, para o qual g (x) < L. Para entender porque este detalhe é tão importante, leia a observação no alto da página 2 das notas de aula. Page 27

28 Questão 2 (.5 pontos) Use interpolação entre os pontos x =, x = 2 e x = 4 para calcular log 2 (3). Como log 2 () =, log 2 (2) = e log 2 (4) = 2, o polinômio interpolador será dado por Logo, (x )(x 4) (x )(x 2) P (x) = P (3) = 2 ( ) = = 5 3. Questão 3 (.5 pontos) Tendo aplicado dez iterações do método da potência à matriz.4 A = 3 obtivemos o vetor v = Use isto para calcular um dos autovalores de A.. Como v é uma aproximação para um autovetor de A,.4.22 Av = 3.86 = λv de modo que λ Questão 4 (2.5 pontos) Use o método de Simpson para calcular a integral com erro inferior a. x 2 cos(x)dx. Page 28

29 Aplicando o método de Simpson com o intervalo de integração subdividido em 2n partes iguais, obtemos b a f(x)dx = h 3 (y n n + y 2n + 2 y 2i + 4 y 2i+ ) i= i= (b a) 8 f (iv) (α)h 4 para algum α (a, b), em que y i = f(a + ih) e h = (b a)/2n. Começamos estimando o número de partes em que é necessário dividir o intervalo [, ] para que o erro que abaixo de.. Como temos que f (iv) (x) = 8 x sin (x) + ( x 2 2 ) cos (x) f (iv) (x) 8x + x < 2, para todo x [, ], donde o erro satisfaz 2 8 h4 <.. Levando em conta que h = /n, obtemos n 4 > 2 8. =.667, que nos dá n >.848. Portanto, o menor valor de n que podemos tomar é n = 2 (note que estou usando n para representar a quantidade de bandas!) fazendo isto, obtemos a seguinte aproximação para a integral 6 (y + y 2 + 4y ).55. Novamente o maior problema foi com a cota superior do erro. Desta vez o problema foi mais sério, porque a função f (iv) (x) tem máximo igual 6.8 em x = O gráco da quarta derivada está ilustrado na gura abaixo. Outro erro foi cometido por algumas pessoas que calcularam a integral usando.5 como aproximação para cos() Isto corresponde a um erro de mais de.4 para o cosseno, o que não é compatível com obter um erro inferior a. para a integral. Questão 5 (3. pontos) Page 29

30 O método de Euler reverso consiste em aplicar a recorrência y k+ = y k +hf(t k+, y k+ ) ao problema de valor inicial ẏ = f(t, y) e y() = y. (a) Use o método de Euler reverso com h =.5 para calcular y(), quando y(t) é a solução do problema de valor inicial ẏ = cos(t) + 4y, com y() =. (b) Calcule as fórmulas de Taylor com resto de ordem dois das funções y(t) e ẏ(t) na vizinhança de t k. (c) Calcule o erro de truncamento obtido quando o método de Euler reverso é aplicado à equação autônoma ẏ = f(y) e use-o para determinar a ordem deste método. (a) A recorrência do método de Euler reverso nos dá donde Tomando h =.5, obtemos donde y k+ = y k + h(cos(t k+ ) + 4y k+ ) ( 4h)y k+ = y k + h cos(t k+ ). y k+ = (y k +.5 cos(t k+ )); y =.44 e y 2 =.7. Assim, y().7, que é impressionantemente ruim, porque y() = Precisei de mil iterações para obter como aproximação 67.92!!! (b) As fórmulas de Taylor desejadas são dadas por e por y(t) = y(t k ) + ẏ(t k )(t t k ) + ÿ(α) 2 (t t k) 2 ẏ(t) = ẏ(t k ) + ÿ(t k )(t t k ) + em que α e β são números entre t k e t.... y (β) 2 (t t k) 2, (c) O erro de truncamento do método de Euler reverso é dado por T k = y(t k + h) y(t k ) h f(y(t k + h)). Levando em conta que, da equação diferencial, ẏ(t) = f(y(t k + h)), podemos reescrever T k na forma T k = y(t k + h) y(t k ) h T k = ẏ(t k ) + ÿ(α) 2 (α)h ẏ(t k + h). Substituindo as fórmulas de Taylor e simplicando, obtemos ( ẏ(t k ) + ÿ(t k )h +... y (β) 2 h2 ) ; Page 3

31 donde (ÿ(α)... T k = h ÿ(t k ) 2 y (β) 2 de modo que o método de Euler reverso tem ordem um. ) h, Page 3

32 Prova FinalTurma EC2UFRJ27.2 Justique cuidadosamente todas as suas respostas. Questão (3. pontos) Considere o problema de valores de contorno xy 2y = 6, com y() = e y(5) =. (a) Determine o sistema linear nas variáveis y 2, y 3 e y 4 obtido aplicando-se a este problema o método das diferenças nitas com passo h =. (b) Calcule a decomposição PLU da matriz do sistema nas variáveis y 2, y 3 e y 4 obtido em (a) e resolva o sistema. Substituindo as aproximações y (x k ) y k+ y k 2h na equação e levando em conta que h =, obtemos Portanto, o sistema será e y (x k ) y k+ 2y k + y k h 2 (x k + )y k 2x k y k + (x )y k = 6. 2y = 6 4y 2 + y 3 = 5 4y 2 6y 3 + 2y 4 = 6 5y 3 8y 4 = 6. Como, claramente, y = 3, basta considerar o sistema nas variáveis y 2, y 3 e y 4. A matriz deste sistema é 4 A = cuja decomposição PLU corresponde a P =, L = Resolvendo o sistema obtemos, U = y 3 = 3 2, y 2 = 33 8, y 4 = Page 32

33 x y Questão 2 (2. pontos) Sabe-se que f(x) é uma função da forma f(x) = c exp(bx) e que representam aproximações de dos valores destas funções. (a) Ache os valores de b e c para a função que melhor se ajusta aos dados da tabela. (b) Calcule f(2.5) usando a função obtida em (a) e determine o erro relativo cometido no cálculo de f(2.5) sabendo-se que o valor exato é Aplicando logaritmos em base aos dois lados de y = b cx obtemos ln(y) = bx + ln(c). Para poder aplicar mínimos quadrados precisamos tabelar ln(y) contra x: Portanto Levando em conta que V t V = x ln(y) V = 2 3 e b = [ 4 3 precisamos apenas resolver o sistema em que l = ln(c), cujas soluções são Como, ] e V t b = 4.l +.b = 2.46.l + 3.b = l =.345 e b =.8. c = exp(l) =.4 [ a aproximação para a fórmula de f(x) que obtivemos é Portanto, quando x = 2.5, Logo, o erro relativo cometido foi de y =.498 e (.8 x). y = = ] Page 33

34 Questão 3 (.5 pontos) As seguintes iterações foram propostas como maneiras de calcular a interseção dos grácos das funções sen(x) e f(x) = 2x + 2: g (x) = 2 sen(x) x g 2 (x) = (2 sen(x))/2 g 3 (x) = ( sen(x) + x cos(x) + 2)/(2 + cos(x)). (a) Explique como cada uma destas iterações foi obtida. (b) Para quais destas iterações podemos garantir a convergência a partir de x =? (c) Qual destas iterações você espera que vá convergir mais rapidamente? g e g 2 são obtidas a partir de manipulações algébricas simples, já g 3 corresponde ao método de Newton. Para a iteração dada por g i (x) ser convergente, é necessário que g i(x) < para todo x real. Mas, ao passo que g (x) = cos(x) cos(x) + 2, g 2(x) = cos(x)/2 /2. Portanto, não podemos garantir a convergência de g, mas g 2 e g 3 são convergentes. A terceira converge mais rapidamente que a segunda, porque a convergência do método de Newton é quadrática, ao passo que a convergência da segunda iteração é apenas linear, pois g 2(x). Questão 4 (.5 pontos) Em quantas partes é necessário subdividir o intervalo [, ] para que a integral abaixo possa ser calculada usando o método de trapézio 5 x 3 exp(2x)dx. O erro no método do trapézio é dado por (b a) f (α)h 2 2 para algum α (a, b), em que h = (b a)/2n. Como f (x) = ( 4 x x x ) (2 x) e Page 34

35 é uma função crescente em [, ], temos que f (x) f () = para todo x [, ], donde o erro satisfaz h 2 < 5. 2 Levando em conta que h = /n, obtemos n 2 > = 35466, 2 5 que nos dá n > Portanto, seriam o menor valor de n que podemos tomar é n = 2. fazendo isto, obtemos a seguinte aproximação para a integral 2 (y + y 4 + 4(y + y 3 ) + 2y 2 ).5. Questão 5 (2. pontos) Considere o problema de valor inicial ẏ = t 2 y 3 com y() = 2. (a) Determine a iteração obtida aplicando o método de Runge-Kutta de segunda ordem a este problema com h =.5. (b) Calcule o polinômio de Taylor de grau dois da solução y(t) do problema de valor inicial dado na vizinhança da origem. Aplicando a fórmula do método de Runge-Kutta de segunda ordem ao problema dado, obtemos a iteração Substituindo h =.5 e expandindo, De ẏ = t 2 y 3 obtemos y k+ = y k + h 2 (t2 ky 3 k + t 2 k+(y k + h(t 2 ky 3 k)))). y k+ = y k + 4 (t2 ky 3 k + (t k +.5) 2 (y k +.5(t 2 ky 3 k)))). ÿ = 2 t 2 y (t) ẏ (t) + 2 t y (t) 2 = 2t 4 y(t) 4 + 2ty(t) 2 ; de modo que ẏ() = 8 e ÿ() = 4. Logo, o polinômio de Taylor de grau dois de y(t) será P 2 (t) = 2 + 8t + 4t 2. Page 35