Estudo de um método de aumento da ordem de precisão de funcionais integrais via métodos adjuntos

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1 Estudo de um método de aumento da ordem de precisão de funcionais integrais via métodos adjuntos Alessandro Alves Santana 1 Universidade Federal de Uberlândia, Faculdade de Matemática , Campus Santa Mônica, Uberlândia, MG alessandro@famat.ufu.br Gabriela Aparecida dos Reis 2 Universidade Federal de Uberlândia, Faculdade de Matemática , Campus Santa Mônica, Uberlândia, MG gabriiela23@hotmail.com 1 Introdução Em métodos de otimização aerodinâmica, aplicados no desenvolvimento de aeronaves, tem se a necessidade de mensurar propriedades aerodiâmicas, tais como coeficientes de arrasto, sustentação ou ainda arrasto/sustentação, os quais são obtidos mediante o cálculo de funcionais integrais, sendo que os integrandos nesses funcionais são obtidos das equações, um conjunto de EDPs, que governam o escoamento dos fluidos ao redor do corpo da aeronave [12, 11, 14, 16, 13]. O cálculo do fluxo de combustíveis fósseis através de meios porosos também exige a avaliação de funcionais integrais cujos integrando são obtidos da solução de EDPs [1]. Esses dois exemplos, assim como outros que surgem em problemas de engenharia, exigem o cálculo de integrais que utilizam a solução de EDPs, e o esforço de melhorar a estimativa dessas integrais, via métodos numéricos, tem se confrontado com muitas possibilidades. Uma delas consiste no aumento do grau de refinamento da malha computacional, só que isso demanda computadores mais velozes, com uma grande capacidade de processamento. Outra alternativa consiste no aumento da ordem de precisão da discretização da EDP, desde que essa discretização seja viável para geometria do domínio do problema em consideração. Essas possibilidades podem ser utilizadas para melhorar a precisão da solução da EDP e consequente aumento da precisão do funcional integral. Contudo, existem problemas de engenharia onde o maior interesse é o valor da saída de um funcional integral. Para um dado problema envolvendo a resolução de uma EDP, cuja solução dependente de um parâmetro α, e o cálculo de uma integral a partir da solução dessa equação, pode-se ter interesse em fazer várias avaliações, com uma boa precisão, da integral devido a variações em α sem que para isso seja necessário trabalhar com uma malha muito refinada, o que eleva o custo computacional, ou trabalhar com uma discretização da EDP com uma ordem mais elevada. Uma abordagem para resolver esse problema consiste na utilização da equação adjunta. Giles [1, 9, 7, 6, 8] e Darmofal [3, 4] apresentam 1 Professor orientador 2 Aluna de iniciação científica do programa PET-FAMAT

2 trabalhos abordando a técnica de aumento da ordem precisão de funcionais integrais utilizando a equação adjunta. Assim sendo, o presente artigo tem por finalidade apresentar um estudo sobre a técnica de aumento da ordem de precisão de funcionais integrais cujos integrandos são provenientes da solução de equações diferenciais. Esse estudo é baseado nos artigos de Giles [7, 6], onde a solução da equação adjunta é utilizada para aumentar a precisão de um funcional integral mostrando que o corretor adjunto dobra a ordem precisão da integral, isto é, se ordem de precisão sem utilizar o corretor adjunto é O(h p ), ao utilizá-lo a ordem vai para O(h 2p ). A teoria é exemplificada, para um caso unidimensional, envolvendo o cálculo de uma integral cujo integrando é solução de uma EDO de segunda ordem. A implementação dessa técnica, para esse problema unidimensional, exige um conhecimento prévio sobre quadratura gaussiana (método de integração numérica), aproximação de funções por splines cúbicos e resolução de EDOs via diferenças finitas. Desse modo, as três próximas seções apresentam a teoria sobre cada uma dessas técnicas. A última seção apresenta o método adjunto e o corretor adjunto, e sua aplicação para o referido problema unidimensional. 2 Regras de quadratura Regras de quadratura tem por finalidade o cálculo de integrais via métodos numéricos. Tais métodos são importantes por que para um grande número de funções não é possível obter as suas respectivas primitivas utilizando técnicas analíticas de integração, técnicas que permitam expressá-las em termos de funções elementares. Além disso, existem situações que exigem a integração de funções, cuja lei de formação é desconhecida, onde o que se tem apenas são seus valores em pontos discretos. Uma das técnicas de integração numérica, mais conhecidas, consiste em aproximar uma função a ser integrada em um intervalo por um polinômio interpolador, e tomar valor da integral deste como uma aproximação para a integral da função original. O desenvolvimento a seguir, tendo por base [5, 1], resume esses argumentos: Considere uma função f(x) a ser integrada em um intervalo [a, b] e um conjunto de n + 1 pontos x,..., x n definidos no referido intervalo. O polinômio de grau no máximo n que interpola f(x) nos n + 1 pontos, na forma de Lagrange, é dado por onde p n (x) = n f(x k )L k (x) (1) k= L k (x) = n (x x i ) i= i k n (x k x i ) i= i k são os chamados polinômios de Lagrange, e funcionam como funções pesos no processo de avaliação ao aplicar o polinômio interpolador. Continuando, (2)

3 b I n (f) = a f(x)dx = b a n f(x k )L k (x)dx = k= n k= b a L k (x)dx f(x k ) } {{ } A k I n (f) = b a f(x)dx = n A k f(x k ) (3) onde I n (f) é a aproximação para integral de f(x) pelo polinômio p n (x) de grau n, sendo A k = b a k= L k (x)dx (4) os chamados pesos no processo de integração. As chamadas fórmulas de Newton-Cotes formam uma classe de técnicas de integração numérica. Nessas fórmulas, a função sendo integrada é aproximada por um polinômio interpolador, via forma de Lagrange, sendo que os pontos utilizados na interpolação são igualmente espaçados. Tais fórmulas são classificadas em dois tipos: Fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado: Utilizam os extremos do intervalo de integração sendo h = b a n o espaçamento os pontos e [a, b] o intervalo de integração. Fórmulas de Newton-Cotes do tipo aberto: Não utilizam os extremos do intervalo de integração sendo h = b a n + 2 o espaçamento os pontos e [a, b] o intervalo de integração. Uma observação importante, considerando as fórmulas fechadas, é que os pesos A k são independentes de x. Dependem apenas de n, grau no polinômio interpolador, e do valor de h. A perda da dependência de x é obtida fazendos-se as seguintes transformações: Se x i = a + ih, i =, 1,..., n, são os pontos de interpolação no intervalo [a, b], então o fator x x i x k x i no produtório (2), pela mudança de variáveis x = a + th, segue que

4 x x i x k x i = a + th a ih a + kh a ih = t i k i Com isso, mais o fato de que x = a quando t = e x = a + nh = b quando t = n, e que dx = hdt, os pesos A k ficam dados por n A k = h λ k (t) dt onde λ k (t) = n (t i) i= i k. n (k i) i= i k As fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado mais conhecidas são dadas a seguir: Regra dos trapézios: A função f(x) é interpolada por um polinômio de grau 1 no intervalo integração sendo os pesos dados por A = A 1 = h/2, gerando a fórmula I 1 = h 2 [f(x ) + f(x 1 )]. (5) Regra 1/3 de Simpson: A função f(x) é interpolada por um polinômio de grau 2 no intervalo de integração sendo os pesos dados por A = h/3, A 1 = 4h/3 e A 2 = h/3, gerando a fórmula I 2 = h 3 [f(x ) + 4f(x 1 ) + f(x 2 )]. (6) Regra 3/8 de Simpson: A função f(x) é interpolada por um polinômio de grau 3 no intervalo de integração sendo os pesos dados por A = 3h/8, A 1 = 9h/8, A 2 = 9h/8 e A 3 = 3h/8, gerando a fórmula I 3 = 3h 8 [f(x ) + 3f(x 1 ) + 3f(x 2 ) + f(x 3 )]. (7) Normalmente, essas técnicas de integração são aplicadas repetidamente para minimizar o erro, uma vez que o comprimento do intervalo de integração pode ser grande, e por conseguinte, o valor de h também. A aplicação repetida se baseia na divisão do intervalo de integração [a, b] em N subintervalos e na aplicação de uma das regras, anteriormente apresentadas, em cada um desses subintervalos, sendo no final os valores obtidos somados para obter uma aproximação para a integral no referido intervalo [a, b]. Para exemplificar, considerando a regra dos trapézios, a fórmula fica

5 I 2 (f) = h 2 [ f(x ) + f(x N ) + ] N f(x k ) onde N é o número de divisões do intervalo de integração [a, b], h = (b a)/n e x k = a + kh. No caso da regra 1/3 de Simpson, exige-se que o número de divisões no intervalo de integração seja da forma 2N, ou seja, o número de divisões tem que ser par, pois essa regra de integração utiliza um polinômio de grau 2, que exige 3 pontos igualmente espaçados. No caso da regra 3/8 de Simpson o número de divisões do intervalo de integração tem que ser da forma 3N, múltiplo de 3, pois é um caso onde o integrando é aproximado por um polinômio de grau 3. Define-se o grau de precisão de uma fórmula de integração numérica baseada em interpolação como sendo o maior inteiro n > para o qual I(f) I n (f) = onde f(x) é um polinômio de grau n, sendo I(f) a integral exata obtida em um intervalo [a, b] e I n (f) a integral, nesse mesmo intervalo, gerada por alguma fórmula de quadratura. Assim sendo, uma fórmula de quadratura interpolatória tem grau de precisão 4 se a mesma é exata para todo polinômio de grau menor ou igual a 4. No que tange aos erros nas fórmulas de quadratura de Newton-Cotes do tipo fechado, os dois teoremas a seguir fornecem resultados com relação a forma de mensurá-los: Teorema 2.1 Se os pontos x i = x + ih, i =,..., n dividem [a, b] em um número ímpar de intervalos iguais e f(x) tem derivada de ordem n + 1 contínua em [a, b], então a expressão do erro para as fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado, com n ímpar, é dada por: para algum ξ [a, b]. E n (f) = hn+2 f (n+1) (ξ) (n + 1)! n k=1 t(t 1)(t 2)... (t n)dt Teorema 2.2 Se os pontos x i = x + ih, i =,..., n dividem [a, b] em um número par de intervalos iguais e f(x) tem derivada de ordem n + 2 contínua em [a, b], então a expressão do erro para as fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado, com n par, é dada por: para algum ξ [a, b]. E n (f) = hn+3 f (n+2) (ξ) (n + 2)! n ( t n ) t(t 1)(t 2)... (t n)dt 2 Considerando as regras (5), (6) e (7), as expressões para seus erros são dados por:

6 Regra dos trapézios (n = 1): E 1 (f) = h3 f (2) (ξ) 12 ξ [x, x 1 ] Regra 1/3 de Simpson (n = 2): E 2 (f) = h5 f (4) (ξ) 9 ξ [x, x 2 ] Regra 3/8 de Simpson (n = 3): E 3 (f) = 3h5 f (4) (ξ) 8 ξ [x, x 3 ] Quando se aplica, por exemplo, tanto a regra dos trapézios como nas regras 1/3 e 3/8 de Simpson, considera-se sempre a aplicação das mesmas na versão repetida. Devido a isso, os erros são somados. No que tange aos erros na forma repetida desses métodos, segue-se que: Regra dos trapézios (n = 1): E 1 (f) = (b a)h2 f (2) (ξ) 12 grau de precisão: 1 Regra 1/3 de Simpson (n = 2): E 2 (f) = (b a)h4 f (4)(ξ) (ξ) 18 grau de precisão: 3 Regra 3/8 de Simpson (n = 3): E 3 (f) = (b a)h4 f (4) (ξ) 8 grau de precisão: 3 O erro na regra do trapézios é da ordem de h 2, em símbolo, O(h 2 ), enquanto que nas duas regras de Simpson os erros são da ordem de O(h 4 ). Isso significa ao integrar uma função f(x) em um intervalo [a, b] considerando-se N = 12, por exemplo, que é um número de divisões múltiplo de 2 e 3, utilizando as referidas técnicas, os resultados gerados as regras de 1/3 e 3/8 de Simpson serão mais precisos que o resultado gerado pela regra dos trapézios. A integral definida 1 sen(πx)dx (8) tem por valor exato 2/pi = Na tabela 1, N é o número de divisões no intervalo de integração, I T R e I SR são as aproximações geradas, respectivamente,

7 pela regra dos trapézios e regra 1/3 de Simpson, e por fim, E T R e E SR são os erros entre a integral exata e a aproximada, respectivamente, pela regra dos trapézios e regra 1/3 de Simpson. Note que para um dado N, a regra 1/3 de Simpson gera sempre uma aproximação mais precisa que a regra dos trapézios. Perceba que para N = 6 a regra de 1/3 de Simpson gera um erro da ordem de 1 4. Para que a regra dos trapézios gere um erro com essa mesma magnitude é necessário um número de divisões no intervalo de integração pelo menos 4 vezes maior. N I T R E T R I SR E SR e e e e e e e e e e-9 Tabela 1: Aproximações para as integrais e seus erros Uma implementação robusta de um método numérico exige que os resultados sejam verificados, isto é, que os resultados gerados pelo programa corroborem com a teoria matemática do método. Um modo de verificar se a implementação computacional de um método de integração numérica está correta é fazer a verificação da ordem utilizando a expressão e(h) e(h/2) = 2p (9) onde e(h), e(h/2) são, respectivamente, os erros com espaçamento entre os pontos com dimensão h e h/2. A ordem é dada por p, o qual pode ser calculado explicitamente, aplicando a função logaritmo em ambos os membros de (9), e após algumas operações, pela expressão log(e(h)) log(e(h/2)) p =. (1) log(2) Considerando os erros no cálculo da integral (8) pela regra dos trapézios e 1/3 de Simpson, tabela 2 apresenta o teste de verificação com relação aos resultados gerados pelos códigos utilizados para gerar as aproximações. Perceba que quando n tende ao infinito temos que h tende a zero e que a ordem da regra dos trapézios tende a 2, corroborando com a ordem deste método, e que a ordem da regra 1/3 de Simpson tende a 4, que é a ordem de seu erro. As fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado podem ser utilizadas mesmo quando não se tem conhecimento da forma do integrando, em situações onde se tem conhecimento apenas dos valores de alguma propriedade física, por exemplo, pontos discretos cujos valores foram obtidos experimentalmente. Quando se tem conhecimento da forma do integrando, além das fórmulas de Newton-Cotes, existe uma técnica conhecida por Quadratura Gaussiana, bastante utilizada, que fornece boas aproximações com um baixo custo computacional.

8 N h E T R p E SR p 6 1/6 1.46e e / e e /24 9.9e e / e e / e e Tabela 2: Análise da ordem do erro Essência, a técnica de quadratura gaussiana se baseia em aproximar o integrando por um polinômio interpolador em pontos que são raízes de polinômios ortogonais φ i (x),i =,..., n, que são polinômios onde φ i (x), φ j (x) = sendo o produto interno dado por { se i j 1 se i = j (11) f(x), g(x) = b a ω(x)f(x)g(x)dx (12) onde ω(x) e continua em [a, b], onde ω(x) é a função peso. Os polinômios φ i (x), i =, 1, 2,... podem ser obtidos pela ortogonalização da seqüência {1, x, x 2,... } através do seguinte teorema. Teorema 2.3 Sejam os polinômios φ (x), φ 1 (x), φ 2 (x),..., de graus, 1, 2,... definidos por: onde: φ (x) = 1, x, 1 φ 1 (x) = x 1, 1, φ k+1 (x) = xφ k (x) α k φ k (x) β k φ k 1 (x) k = 1, 2, 3,..., α k = xφ k(x), φ k (x) φ k (x), φ k (x) β k = φ k(x), φ k (x) φ k 1 (x), φ k 1 (x) os polinômios φ (x), φ 1 (x), φ 2 (x),... assim definidos, são dois a dois ortogonais, satisfazendo (11). Os polinômios ortogonais são classificados em famílias, onde uma difere da outra de acordo com a função peso ω(x) e o intervalo de integração. A tabela 3 apresenta os polinômios ortogonais mais conhecidos. Utilizando o teorema que descreve o processo de ortogonalização, os polinômios de Legendre de graus, 1 e 2 são dados por (13) (14)

9 Polinômios [a, b] ω(x) Legendre [ 1, 1] 1 Tchebyshev [ 1, 1] 1/ 1 x 2 Laguerre [, ) e x Hermite (, ) e x2 Tabela 3: Família de polinômios ortogonais φ (x) = 1 φ 1 (x) = x φ 2 (x) = x (15) Os polinômios ortogonais possuem várias propriedades, os quais podem serem vistos em [5], sendo duas de grande importância no que tange aos métodos de integração baseados em quadratura gaussiana, as quais seguem Propriedade 2.1 Sejam φ (x), φ 1 (x), φ 2 (x),... polinômios ortogonais, não nulos, segundo o produto escalar: f(x), g(x) = b a ω(x)f(x)g(x)dx (16) com ω(x) e contínua em [a, b]. Então φ n (x) possui n raízes reais distintas em [a, b]. Uma vez que as técnicas de integração baseadas em quadratura gaussiana utilizam raízes dos polinômios ortogonais para obter os polinômios interpoladores da função sendo integrada, é importante que essas raízes estejam no intervalo de integração. A propriedade 2.1 garante que isso sempre ocorre. Propriedade 2.2 Sejam φ (x), φ 1 (x), φ 2 (x),... polinômios ortogonais nas condições da propriedade 2.1. Sejam x, x 1, x 2,..., x n as raízes de φ n+1 (x). Se f(x) é um polinômio de grau menor ou igual a 2n + 1, então: onde b a ω(x)f(x)dx = n A k f(x k ) (17) k= A k = b a ω(x)l k (x)dx. (18) A propriedade 2.2 garante que para integrar uma função polinomial de grau K, basta interpolarmos essa função utilizando as raízes de um polinômio ortogonal de grau aproximadamente K/2 e então integrá-la. Tirando os erros de arredondamento,

10 a integração por esse processo é exata. Para ilustrar essa afirmação, considere o cálculo da seguinte integral 1 1 (4x 3 + 3x 2 + 2x + 1)dx (19) cujo valor exato é dado por 4. A função peso ω(x) = 1 e [a, b] = [ 1, 1], sendo que o grau da função polinomial f(x) é 2n + 1 = 3. Pela propriedade 2.2, basta então tomarmos n = 1. Basta interpolarmos f(x) por um polinômio de grau n + 1 = 2 nas raízes de um polinômio de Legendre de grau 2, uma vez que ω(x) = 1 e [a, b] = [ 1, 1]. O polinômio de Legendre de grau 2 é dado por φ 2 (x) = x 2 1/3, tendo por raízes x = 3/3 e x 1 = 3/3. Calculando A e A 1 utilizando (18) chegaremos a A = A 1 = 1. Continuando, 1 1 (4x 3 +3x 2 +2x+1)dx = ( ) ( ) A k f(x k ) = f(x )+f(x 1 ) = f +f = k= Para efeito de comparação, esse cálculo exigiu a avaliação de f(x) em dois pontos para obter um valor exato, ao passo que para obter essa mesma exatidão, a regra 1/3 de Simpson iria exigir três pontos. O procedimento para o cálculo de uma integral via Quadratura Gaussiana consiste nos seguintes passos: Determinar o polinômio ortogonal φ n+1 (x), segundo o produto escalar conveniente de acordo com a função peso ω(x) e o intervalo de integração [a, b]. Calcular as raízes x, x 1, x 2,..., x n de φ n+1 (x). Determinar os polinômios de Lagrange L (x), L 1 (x),..., L n (x) usando as raízes de φ n+1 (x). Calcular A k usando (18). Calcular f(x) nas raízes de φ n+1 (x). Finaliza-se calculando a integral usando (17). Felizmente, para cada família de polinômios ortogonais existe, na literatura da área, um conjunto de tabelas com suas respectivas raízes e pesos de acordo com o grau do polinômio. Para aplicar uma regra de quadratura gaussiana é necessário que o intervalo de integração esteja no intervalo da respectiva família de polinômios ortogonais que estiver sendo utilizada. Caso não esteja, é necessário fazer uma mudança de intervalo mediante uma transformação. Considerando que uma integral esteja sendo calculada em um intervalo [a, b] qualquer, para integrá-la utilizando as raízes dos polinômios de Legendre, que estão definidas no intervalo [ 1, 1], basta fazer o mapeamento do intervalo [a, b] dentro do intervalo [ 1, 1],

11 x t 1 a 1 1 b 1 1 Dessa forma, segue-se que = x = (b a)t 2 + a + b 2 dx = b a 2 dt b a f(x)dx = b a ( (b a)t f 2 + a + b ) dt = b a 2 2 n ( (b a)tk A k f 2 k= + a + b ) 2 As fórmulas de quadratura gaussianas podem ser aplicadas repetidamente. Considerando que o intervalo de integração [a, b] foi dividido em N subintervalos igualmente espaçados de comprimento h = (b a)/n, a fórmula de quadratura fica dada por b a f(x)dx = h 2 N i=1 n A k f k= ( htk 2 + x ) i 1 + x i 2 Os erros nas fórmulas de quadratura gaussiana dependem da família de polinômios ortogonais, os quais são dados a seguir: Legendre: Tchebyshev: E n (f) = 22n+3 [(n + 1)!] 4 (2n + 3) [(2n + 2)!] 3 f (2n+2) (ξ) ξ (a, b). (2) E n (f) = 2π e 2n+2 (2n + 2)! f (2n+2) (ξ) ξ (a, b). Laguerre: E n (f) = [(n + 1)!]2 (2n + 2)! f (2n+2) (ξ) ξ (a, b). Hermite: E n (f) = (n + 1)! π 2 n+1 (2n + 2)! f (2n+2) (ξ) ξ (a, b). Considere o mesmo exemplo apresentado anteriormente, onde a função f(x) = sen(πx) é integrada no intervalo [, 1], agora calculando aquela integral via quadratura gaussiana repetida utilizando as raízes do polinômio de Legendre de grau 2.

12 N I T R E T R I SR E SR I QG E QG e e e e e e e e e e e e e e e-1 Tabela 4: Aproximações e os erros obtidos - Newton-Cotes Quadratura Gaussiana A sexta e sétima colunas da tabela 4 apresentam os valores das integrais I QG, bem como os erros E QG, obtidos utilizando quadratura gaussiana. Note que os resultados gerados via quadratura gaussiana são sempre mais precisos que os resultados gerados pelas fórmulas de Newton-Cotes. Note que com n = 6 o erro ao utilizar quadratura gaussiana E QG é da ordem de 1 5. Essa mesma ordem de erro é alcançada com n = 12 divisões ao empregar a regra 1/3 de Simpson, e ao utilizar a regra dos trapézios são necessárias n = 96 divisões. Analisando toda tabela 4, comparando as integrais geradas via 1/3 de Simpson repetida com as integrais obtidas via quadratura gaussiana, pode-se notar que a regra de Simpson necessita do dobro do número de divisões no intervalo [a, b] para gerar os mesmos resultados aos obtidos utilizando quadratura gaussiana. Com relação a ordem dos esquemas de integração baseadas em quadratura de Gauss, estas irão de depender o número de pontos utilizados. Considerando os resultados apresentados na tabela 2 e adicionando mais duas colunas referentes aos erros obtidos via quadratura gaussiana utilizando dois pontos de Gauss, a tabela 5 apresenta a ordem obtida. N h E T R p E SR p E QG p 6 1/6 1.46e e e / e e e /24 9.9e e e / e e e / e e e Tabela 5: Análise da ordem dos erros - Newton-Cotes Quadratura Gaussiana Embora, como pode ser visto na tabela acima, a ordem seja 4, como a regra 1/3 de Simpson, as aproximações via quadratura de Gauss sempre geram resultados mais precisos com um baixo custo computacional se comparados as fórmulas de Newton- Cotes. Por essa razão a técnicas de integração baseadas em quadratura gaussiana são mais utilizadas que as fórmulas de Newton-Cotes. Esse é o fundamento pelo qual essa técnica foi utilizada nesse trabalho.

13 3 Splines cúbicos A técnica de aproximação de funções por splines cúbicos é uma das técnicas de interpolação que existem no campo na análise numérica. Em essência, seguindo Burden [2], essa técnica consiste em: Dado um conjunto de n + 1 pontos, a = x < x 1 < < x n 1 < x n = b, em um intervalo [a, b], e os valores que uma função f(x) assume em cada um desses n + 1 pontos, sendo h i = x i x i 1, i = 1,..., n 1, o espaçamento entre cada um dos pontos, a interpolação de f(x) por splines cúbicos consiste em um conjunto de n polinômios cúbicos, um para cada subintervalo [x i, x i+1 ], i =, 1,..., n 1, da forma S i (x) = a i + b i (x x i ) + c i (x x i ) 2 + d i (x x i ) 3 (21) com i =, 1,..., n 1 de tal forma que 1. S(x) seja um polinômio cúbico em cada subintervalo [x i, x i+1 ], i =, 1,..., n 1; 2. S(x i ) = f(x i ) para i =, 1,..., n; 3. S i+1 (x i+1 ) = S i (x i+1 ) para i =, 1,..., n 2; 4. S i+1(x i+1 ) = S i(x i+1 ) para i =, 1,..., n 2; 5. S i+1(x i+1 ) = S i (x i+1 ) para i =, 1,..., n 2; 6. Uma das seguintes condições tem que ser satisfeita: (a) S (x ) = S (x n ) = (condição de fronteira livre ou natural) (b) S (x ) = f (x ) e S (x n ) = f (x n ) (condição de fronteira completa) Essas condições para construção dos splines cúbicos faz com que o polinômio interpolador, formado pelo conjunto de todos os splines, tenha derivadas de primeira e segunda ordens contínuas nos pontos do interior x i, i = 1, 2,..., n 1. Um detalhe a ser observado é que a construção dos splines cúbicos não garante que S i (x i ) = f (x i ). A técnica de interpolação via splines cúbicos evitam oscilações que ocorrem com polinômios de graus elevados. Para ilustrar, considere o problema de interpolar a função f(x) = e x2 no intervalo [ 4, 4], utilizando 11 pontos, por um polinômio de grau 1 e por um spline cúbico com condição de fronteira completa. Na figura 1 pode-se notar as grandes oscilações que ocorrem ao interpolar f(x) por um polinômio de grau 1, o que é evitado ao utilizar splines cúbicos. Para construir um spline cúbico para uma dada função f(x), aplicando as condições na definição temos que S i (x) = a i + b i (x x i ) + c i (x x i ) 2 + d j (x x i ) 3 (22) para cada i =, 1, 2,..., n 1. Note em (22) que S i (x i ) = a i, onde x, x 1,..., x n são os pontos de interpolação. Do segundo item da definição temos que S i (x i ) = f(x i ), i =, 1,..., n, daí segue que

14 Figura 1: Interpolação por polinômio de grau 1 e por splines cúbicos Aplicando a terceira condição, a i = f(x i ) (23) a i+1 = S i+1 (x i+1 ) = S i (x i+1 ) = a i +b i (x i+1 x i )+c i (x i+1 x i ) 2 +d i (x i+1 x i ) 3 (24) com i =,..., n 2.Adotando a notação h i = x i+1 x i, que ocorre em todo processo, segue Perceba que a i+1 = a i + bih i + c i h 2 i + d i h 3 i i =, 1,..., n 1. (25) S i(x) = b i + 2c i (x x i ) + 3d i (x x i ) 2 (26) e isso implica que b i = S i(x i ), i =, 1,..., n 1. Da quarta condição da definição, temos que b i+1 = b i + 2c i h i + 3d i h 2 i i =, 1,..., n 1. (27) Considerando a derivada segunda do spline, Aplicando a quinta condição em, chegaremos a S i (x) = 2c i + 6d i (x x i ). (28) c i+1 = c i + 3d i h i i =, 1,..., n. (29)

15 Isolando d i em (29) e substituindo-o nas equações (25) e (27) obtemos as seguintes relações Isolando b i na equação (3), temos a i+1 = a i + b i h i + h3 i 3 (2c i + c i+1 ) (3) b i+1 = b i + h i (c i + c i+1 ) (31) b i = 1 h i (a i+1 a i ) h i 3 (2c i + c i+1 ). (32) Reduzindo uma unidade nos índices de (32), segue Substituindo (32) e (33) em (31), b i 1 = 1 h i 1 (a i a i 1 ) h i 1 3 (2c i 1 + c i ). (33) h i 1 c i 1 + 2(h i 1 + h i )c i + h i c i+1 = 3 h i (a i+1 a i ) 3 h i 1 (a i a i 1 ) (34) para i = 1, 2,..., n 1. Fazendo essa variação em i, será gerado um sistema linear com n+1 incógnitas c i e n+1 equações. Perceba em (34) que h i, com i =, 1,..., n 1, são conhecidos a partir do pontos x i, assim como os valores de f(x) nesses mesmos pontos, os quais geram os coeficientes a i, i =, 1,..., n. Os coeficientes c i são obtidos resolvendo o sistema linear utilizando um método adequado para sistemas tridiagonais. Os demais coeficientes b i e d i são obtidos, respectivamente, utilizando (32) e (29). Os seguintes teoremas garantem a existência e unicidade dos splines cúbicos de acordo com cada condições de fronteira utilizada. Teorema 3.1 Se f(x) é definida em a = x < x 1 < < x n 1 < x n = b, então f(x) tem um único spline natural interpolador nos pontos x, x 1, x 2,..., x n, isto é, um spline natural que satisfaz as condicções de fronteira S (a) = S (b) =. Esse teorema garante a existência e unicidade do spline cúbico que interpola uma dada função f(x) sob condição de fronteira natural. O sistema linear para esse caso a apresentação dada a seguir h 2(h + h 1 ) h h 1 2(h 1 + h 2 ) h h n 2 2(h n 2 + h n 1 ) h n c c 1 c 2... c n =

16 3 (a 2 a 1 ) 3 (a 1 a ) h 1 h.. 3 (a n a n 1 ) 3 (a n 1 a n 2 ) h n 1 h n 2 Teorema 3.2 Se f(x) é definida em a = x < x 1 < < x n 1 < x n = b, e diferenciável em a e b, então f(x) tem um único spline cúbico interpolador, nos pontos x, x 1, x 2,..., x n, com condição de fronteira completa, isto é, que satisfaz as condições S (a) = f (a) e S (b) = f (b). Esse teorema garante a existência e unicidade do spline cúbico que interpola uma dada função f(x) sob condição de fronteira completa. O sistema linear para esse caso a apresentação dada a seguir. 2h h h 2(h + h 1 ) h h 1 2(h 1 + h 2 ) h h n 2 2(h n 2 + h n 1 ) h n h n 1 2h n 1 3 (a 1 a ) 3f (a) h 3 (a 2 a 1 ) 3 (a 1 a ) h 1 h.. 3 (a n a n 1 ) 3 (a n 1 a n 2 ) h n 1 h n 2 3f (b) 3 (a n a n 1 ) h n 1 c c 1 c 2... c n = Quando não se tem conhecimento do valor de f (a) e f (b), uma alternativa para essa situação consiste em utilizar aproximações para essas derivadas por diferenças finitas, desde que os pontos sejam igualmente espaçados. Caso não seja, deve-se buscar uma outra técnica de aproximação de derivadas. Com relação aos erros na interpolação via splines, existe um teorema que estabelece um limitante para o erro no caso do spline cúbico sob condição de fronteira completa.

17 Teorema 3.3 Seja f(x) C 4 [a, b] com max f (4) (x) M. Se S(x) é o único a x b spline cúbico interpolante, sob condição de fronteira completa, a f(x) nos pontos a = x < x 1 < x 2 < < x n = b, então 5M max f(x) S(x) a x b 384 max (x i+1 x i ) 4. i n 1 Supondo que o pontos sejam igualmente espaçados, h = x i+1 x i, com i =, 1,..., n 1, então os erro na interpolaçao via splines é limitado por um erro da ordem O(h 4 ). 4 Método de diferenças finitas O método de diferenças finitas é um método de resolução de equações diferenciais que tem por base a aproximação das derivadas, que aparecem nas referidas equações, por fórmulas de diferenças finitas. Essas fórmulas são obtidas via série de Taylor. Para exemplificar, consideremos algumas fórmulas para aproximar as derivadas de uma função u(x) de uma única variável. Considere uma aproximação para u (x) de forma que u (x) = au(x + h) + bu(x). (35) Expandindo em série de Taylor u(x + h) em torno de x, ] u (x) = a [u(x) + hu (x) + h2 2 u (ξ) + bu(x) u (x) = (a + b)u(x) + ahu (x) + ah2 2 u (ξ) (36) onde ξ (x, x + h). Desconsiderando o erro dado pelo último termo no segundo membro de (36), segue u (x) = (a + b)u(x) + ahu (x) (37) Para que a relação de igualdade em (37) seja satisfeita devemos impor { a + b = ah = 1 que tem por solução a = 1/h e b = 1/h, o que faz com que a aproximação de u (x) na forma da equação (35) seja dada por (38) u u(x + h) u(x) (x) =. (39) h O erro na aproximação dessa derivada é obtido substituindo a = 1/h em ah 2 2 u (ξ)

18 que leva a h 2 u (ξ) ξ (x, x + h) que é um erro da ordem de O(h). De modo análogo, podemos obter uma fórmula para u (x) de modo que u (x) = au(x) + bu(x h). Nesse caso a = 1/he b = 1/h, ficando a aproximação dada por tendo por erro u (x) = u(x) u(x h) h h 2 u (ξ) ξ (x h, x) sendo este da ordem de O(h). Uma outra aproximação, seguindo as mesmas idéias, para u (x) de ordem maior que 1 é dada, por exemplo, por com erro dado por u (x) = u(x + h) u(x h) 2h (4) h 2 12 u(3) (ξ) ξ (x h, x + h) (41) que é de ordem 2, isto é, O(h 2 ), e portanto mais preciso que as outras duas aproximações para u (x) que são de ordem 1. No caso da aproximação de uma derivada de segunda ordem u (x), considere uma aproximação para a mesma de tal forma que u (x) = au(x h) + bu(x) + cu(x + h). (42) Fazendo as expansões em série de Taylor de u(x h) e u(x + h) em torno de x, segue u (x) = a [u(x) hu (x) + h2 onde ξ (x h, x) e ξ (x, x + h). Continuando, c ] 24 u(4) (ξ 1 ) 2 u (x) h3 6 u(3) (x) + h4 + bu(x) [u(x) + hu (x) + h2 2 u (x) + h3 6 u(3) (x) + h4 24 u(4) (ξ 2 ) ] u (x) = (a + b + c)u(x) + (c a)hu (x) + (c + a)h2 (c u a)h3 (x) + u (3) (x)+ 2 6 (c + a)h 4 u (4) (ξ) (43) 24

19 onde ξ (x h, x + h). Para obter a, b e c, devemos impor a + b + c = (c a)h = (c + a) h2 2 = 1 Esse sistema linear tem por solução a = 1/h 2, b = 2/h 2 e c = 1/h 2. Com esses parâmetros, temos u(x h) 2u(x) + u(x + h) u (x) = (44) h 2 Note que o quarto termo no segundo de (39) se anula pois a = c. Com isso, o erro nessa aproximação é dado por h 2 12 u(4) (ξ) ξ (x h, x + h) (45) que é um erro de ordem 2. Dessa forma, existe uma infinidade de fórmulas de diferenças finitas que podem ser obtidas para aproximar derivadas. Nos exemplos expostos a abordagem foi feita em cima de uma função de uma única variável. Para derivadas de funções de mais de uma variável, derivadas parciais, a técnica é a análoga. Utiliza-se da mesma forma expansões em série de Taylor, só que para o caso de funções de mais de uma variável. Para exemplificar uma aplicação da técnica de diferenças finitas, considere o problema de resolver problema de contorno a seguir. d 2 u = f(x) x [a, b] dx2 u(a) = u (46) a u(b) = u b A chave para resolver, utilizando métodos numéricos, a equação (46) está na discretização da mesma em seu domínio, que também deve ser discretizado. É a discretização que possibilita resolvê-la numericamente no computador. Dividindo o intervalo [a, b] em n partes iguais teremos n + 1 pontos igualmente espaçados x i = a + ih, i =, 1,..., n, sendo h = (b a)/n. Aproximando a equação (46) em um ponto x i, utilizando (??), dentro do domínio da mesma, temos u(x i h) 2u(x i ) + u(x i + h) h 2 = f(x i ). (47) Utilizando a notação indexada u(x i h) = u i 1, u(x i ) = u i, u(x i + h) = u i+1 e f(x i ) = f i em (47), segue u(x i h) 2u(x i ) + u(x i + h) = h 2 f(x i ). (48) Fazendo i = 1, 2,..., n 1, obtém-se o seguinte sistema linear

20 u 1 u 2 u 3. u n 1 h 2 f 1 u a h 2 f 2 = h 2 f 3. h 2 f n 1 u b com n 1 equações e incógnitas. A solução desse sistema fornecerá aproximações para u 1, u 2, u 3,..., u n 1. Perceba que para i = 1 e i = n 1, na equação discretizada (49), aparece, respectivamente, u e u n. Como esses valores são conhecidos por caírem sobre a fronteira, no caso, u = u a e u n = u b, são passados para o segundo membro (vetor dos termos independentes) do sistema linear. Como a matriz dos coeficientes é tridiagonal, o sistema pode ser resolvido com uma adaptação método de eliminação de Gauss para sistemas tridiagonais. A forma como as derivadas de uma equação diferencial são discretizadas definem para as mesmas uma ordem de precisão. Para fazer essa análise considere a seguinte exemplicação, tomando por base uma adaptação para EDOs do processo de determinação da ordem de precisão apresentado em Strikwerda [15], do cálculo da ordem de precisão da equação (47). Seja P um operador tal que P u = d2 u dx 2, (5) que no caso da equação em questão temos P u = f, e P h o operador tal que (49) u(x h) 2u(x) + u(x + h) P h u = (51) h 2 O esquema de diferenças finitas definido por (47) dito ser de ordem p se P h u f = O(h p ) (52) Para o cálculo de p, considere desenvolvimento a seguir, baseado na expansão em série de Taylor em torno de x. u(x h) 2u(x) + u(x + h) P h u f = f = h 2 ] 1 [u(x) hu (x) + h2 h 2 2 u (x) h3 6 u(3) (x) + h4 24 u(4) (ξ 1 ) 2u(x) + h 2 1 [u(x) + hu (x) + h2 h 2 2 u (x) + h3 6 u(3) (x) + h4 24 u(4) (ξ 2 ) ] f = u (x)+ h2 24 u(4) (ξ) f Como u = f, segue que P h u f = h2 24 u(4) (ξ) = O(h 2 ) ξ (x h, x + h) (53) e portanto o método é dito ser de ordem p = 2.

21 Em uma implementação correta do esquema (48) deve ser ver essa ordem de precisão. Para realizar isso, basta fazer uma análise de ordem seguindo os métodos de verificação apresentados na seção sobre regras de quadratura, com a diferença que o erro deve ser calculado utilizando a seguinte norma e(h) = { h } 1/2 n [u(x i ) u i ] 2 i= apresentada em Strikwerda [15], onde u(x i ) é a solução exata no ponto x i e u i sua solução aproximada. Para exemplificar uma verificação de ordem, considere o problema a seguir envolvendo uma equação de Poisson unidimensional. d 2 u dx 2 = π2 sen(πx) x [, 1] u() = u(1) = A tabela 6 mostra que a ordem p converge para 2, corroborando com a ordem do método. (54) (55) n h e(h) p 1 1/ e-3 2 1/ e / e / e / e / e / e Tabela 6: Verificação da ordem para equação de Poisson unidimensional Com essa seção finaliza-se a apresentação dos métodos numéricos necessários no teste computacional que será apresentado na próxima seção, que aborda a equação adjunta e o corretor adjunto. 5 Equação adjunta e corretor adjunto Considere o problema de calcular o funcional integral I [u] = g, u = gu dω (56) sendo u a solução da equação diferencial Ω Lu = f (57)

22 com suas respectivas condições iniciais e/ou de fronteira, com a solução u e o termo fonte f ambos definidos no domínio Ω. Em (57), L é um operador diferencial, o qual define a equação diferencial pela relação de igualdade com o termo fonte. A chamada equação adjunta a equação (57) é dada por L v = g (58) cuja solução é dada pela equação v e tem por termo fonte a função g. O operador diferencial L é o operador adjunto ao operador L. As condições de fronteira e/ou iniciais da equação adjunta são obtidas no processo de obtenção do operador adjunto L, o qual é obtida a partir do operador L. Diz-se que o operador diferencial L é adjunto ao operador diferencial L se para toda função u e v definida em um domínio Ω vale Lu, v = u, L v (Lu) vdω = u (L v) dω (59) Ω Para exemplificação, desenvolveremos o processo de obtenção da equação adjunta para equação diferencial ordinária (EDO) que será utilizada no processo de aumento da precisão da ordem do funcional integral (56). A EDO é dada pelo problema de contorno d 2 u = sen(πx) x [, 1] dx2 u() = u(1) = O operador L nesse caso é dado por Ω (6) Continuando, Lu = d2 u dx 2. (61) Lu, v = Integrando por partes (62) fazendo p = v dp = dv dx dx 1 d 2 u vdx (62) dx2 Logo, dq = d2 u du dx q = dx2 dx Lu, v = [ v du ] 1 1 dx du dv dx (63) dx dx

23 Integrando por parte novamente o segundo termo no segundo membro de (63), segue p = dv dx dp = d2 v dx dx 2 Com isso, dq = du dx dx q = u Lu, v = Lu, v = [ v du ] 1 [ ] 1 1 dv dx dx u + u d2 v dx dx 2 1 Lu, v = u, L v + onde L é o operador adjunto definido por [ u d2 v dx dx + v du ] 1 [ ] 1 dv 2 dx dx u [ v du ] 1 [ ] 1 dv dx dx u (64) L v = d2 v dx 2 O segundo e terceiro termos no segundo membro de (64) devem ser nulos para que se verifique a identidade (59). É dali que iremos obter as condições de fronteira para a equação adjunta. Perceba que [ v du ] 1 [ dv dx dx u [ v du dx ] 1 ] 1 = v(1)u (1) v()u () v (1)u(1) + v ()u() [ ] 1 dv dx u = v(1)u (1) v()u () (65) pois u() = u(1) =. Portanto, basta impor que na fronteira em x = e x = 1 a equação adjunta se tenha v() = v(1) =. Dessa forma, a identidade (59) será verificada. Consideremos o processo para obtenção do corretor adjunto. Seja Lu = f uma equação diferencial e L v = g sua equação adjunta tendo por soluções, respectivamente, u e v. Sejam Lu h = f h e L v h = g h, onde u h e v h são funções aproximadoras, respectivamente, de u e v, sendo f h e g h termos fontes obtidos pelas aproximações, respectivamente, u h e v h. Daí segue, g g h, u u h = g, u u h g h, u u h = g, u g, u h g h, u u h.

24 g, u = g, u h + g h, u u h + g g h, u u h = g, u h + L v h, u u h + g g h, u u h = g, u h + v h, L(u u h ) + g g h, u u h = g, u h + v h,lu Lu h + g g h,u u h = g, u h + v h,f f h + g g h,u u h. g, u = g, u h + v h, f f h + g g h, u u h (66) O funcional integral no problema (56) pode ser então calculado utilizando a expressão (66). Nessa expressão, a segunda parcela no segundo membro v h, f Lf h é o chamado corretor adjunto, o qual envolve a solução aproximada da equação adjunta, e a terceira parcela no segundo membro g g h, u u h é o erro que resta após aplicar o orretor adjunto. Perceba que ao realizar um teste dessa teoria onde f e g são conhecidos e tanto u como v pode serem obtidos por técnicas analíticas, cada um dos três produtos internos do segundo membro podem ser calculados exatamente. Em situações onde u só pode ser obtido resolvendo, via métodos numéricos, a equação diferencial Lu = f, o que pode ser obtido é apenas uma função aproximadora u h, por alguma técnica de reconstrução, a partir da solução aproximada nos pontos do domínio discretizado. Esse mesmo argumento vale para a equação L v = g, no qual pode ser obtido uma função aproximadora v h. O produto interno g g h, u u h já não pode ser calculado por que não temos conhecimento das soluções exatas u e v. Assim sendo, calculando apenas g, u h, temos uma solução aproximada com uma determinada precisão para g, u, e adicionando o valor de v h, f Lf h, aumentamos a precisão na aproximação de g, u. Giles [7, 6] apresenta um teste para um caso unidimensional para exemplificar a teoria do corretor adjunto. Esse teste, reproduzido aqui, consiste na avaliação da EDO e de sua equação adjunta d 2 u dx 2 = f (67) d 2 v dx 2 = g (68) ambas no domínio [, 1], sendo u() = u(1) = as condições de contorno da equação (67) e v() = v(1) = da equação adjunta (68). Os termos fonte são dados por f(x) = x 3 (1 x) 3 e g(x) = sen(πx). O funcional integral a ser avaliado é dado por g, u = As solução exata de (67) é dada por 1 g(x)u(x)dx. (69)

25 u(x) = x x7 14 x6 1 + x5 2 x 28 e a de equação adjunta (67) v(x) = sen(πx) π 2. As equações (67) e sua adjunta (68) são resolvidas utilizando o método de diferenças finitas, considerando n = 1, 2, 4, 8, 16 e 32 divisões no intervalo [, 1]. As aproximações para u e v, para cada umas dessas divisões, obtidas são utilizadas para aproximar a solução u e v por splines cúbicos, com condição de fronteira natural, gerando assim duas funções, respectivamente, u h e v h. O termo fonte f h é obtido derivando u h. Os produtos internos g, u h e v h, f f h são calculados via quadratura gaussiana utilizando-se dois pontos de gauss. A integral exata de g, u é dada por IF E = 2(72π2 72) π 9 = onde IF E é a integral exata. Na tabela 7, IF A = g, u h é a aproximação de IF E sem o corretor, ESCA = IF E IF A é o erro cometido sem o uso do corretor adjunto, IF A + CA = g, u h + v h, f f h é a aproximação de IF E utilizando o corretor adjunto, e por último, ECCA = IF E (IF A + CA) é o erro na aproximação de IF E utilizando o corretor adjunto. Para analisar a ordem de precisão na aproximação de g, u, seguindo o exemplo dos artigos do Giles, basta montar uma tabela log(n) log(erro) considerando os erros com e sem utilizar o corretor adjunto. Os pontos devem então serem ajustados por uma reta via método dos mínimos quadrados. O módulo da inclinação do coeficiente angular irá fornecer a ordem. As ordens obtidas pode serem vistas na legenda do gráfico da figura 2. A ordem obtida ao calcular a integral sem o corretor foi 2.996, e com o corretor Note que o corretor adjunto dobrou a ordem de precisão, indo de um erro da ordem de O(h 2 ) para O(h 4 ). n h IF A ESCA IF A + CA ECCA 1 1/ e e e e-7 2 1/ e e e e-9 4 1/ e e e e / e e e e / e e e e / e e e e-14 (7) Tabela 7: Aproximaçôes e os erros com e sem o corretor adjunto A ordem de precisão da solução da equação (67) e da equação adjunta (68) influenciam nessa ordem. Se a ordem de precisão do esquema de diferenças finitas utilizado para resolver as referidas equações fosse 4, a ordem de precisão de g, u h

26 Figura 2: Gráfico ESCA ECCA teria essa mesma ordem, e após a correção, a ordem de precisão iria para 8. Em resumo, se o erro na solução das equações diferenciais u u h e v v h são ambos de ordem O(h p ), então o erro que resta ao utilizar o corretor adjunto é da ordem O(h 2p ). 6 Conclusões A técnica de aumento da ordem de precisão de funcionais integrais, cujos integrandos são provenientes de soluções de equações diferenciais, mostrou ser uma técnica bastante útil. Pode ser aplicado, por exemplo, em métodos de estimação de parâmetros associados a EPDs, os quais costumam serem formulados como um problema de otimização, desde que o método de otimização seja baseado em gradientes. Nesse tipo de problema, a função objetivo é um funcional integral cujo integrando depende da solução de EDPs. Se o cálculo desses gradientes forem baseados em métodos adjuntos, os quais utilizam a solução da equação adjunta no cálculo dos gradientes, a solução da equação adjunta também pode ser utilizada para avaliar a função objetivo definida por uma integral com uma ordem de precisão maior do que a ordem de precisão do método numérico utilizado na resolução das EDPs.

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