(a) Calcule, justicando, o limite das seguintes sequências: = 1. x n = (n 1 n ) limn. x x 2 = lim. 2x = lim. 2n n

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1 Turma A Questão : (3,5 potos) Istituto de Matemática e Estatística da USP MAT Cálculo Diferecial e Itegral IV para Egeharia a. Prova - 2o. Semestre 23-9/9/23 (a) Calcule, justicado, o ite das seguites sequêcias: (i) x = ( (ii) x = ) (b) Seja (x ) a sequêcia dada por: x = x 2 = e = + x +2 x + x Solução: (a) (i) Maipula-se o termo geral: Calcula-se o ite: x = ( ) = 2 = e l 2 x = e l 2 l = e 2 Sedo a = f() ode f é uma fução real, calcula-se o ite utilizado a Regra de L'Hôspital para sua solução: Logo, o ite pedido é: l x x 2 = x 2x = 2x 2 = () l e 2 = e = (ii) x = 2 = 2 2 = ( ) 4 = ( ) ( ) ( ) ( )

2 Fazedo o ite: x = e e = e 7 4 (b) Para mostrar que a sequêcia é covergete, vamos mostrar que a sequêcia é decrescete e de termos positivos, portato itada. Primeiramete otemos que x >. Vamos provar por idução. De fato, x 3 = 2 >. Supodo que x k >, para todo k temos que Portato, x + >. Assim x >, para todo. Do euciado: = + > x + x x = + > x +2 x + x x + x +2 < x + Logo, a sequêcia é decrescete e itada, portato coverge. Como a sequêcia coverge, tem-se que x = L Supodo que L, substituido a relação de recorrêcia: Absurdo. Portato L =. L = L + L L = 2

3 Questão 2: (3, potos) Determie se as séries abaixo covergem absolutamete, codicioalmete ou divergem: (a) ( ) = ( ) (b) = e 2 (c) = ( ) 3 [ cos ( 3 )] Solução: (a) Primeiramete aalisemos a série ( ( ) ) = Faz-se uma comparação o ite com b =, termo geral de uma série que diverge. Logo, aplicado esse critério: a = b = 2 Logo, pelo Critério da Comparação o Limite, a série tem o mesmo comportameto da série diverge, logo a série = ( 2 ) também diverge. + = que A série em questão é alterada, logo a covergêcia é testada pelo Critério de Leibitz. Deve-se vericar que ( ) i) b = é decrescete; + ii) b =. Cosidere f(x) = x2 +2 2x 3 +. Derivado temos f (x) = 2x4 2x 2 +2x (2x 3 +) 2. Como o ite 2x4 2x 2 + 2x = e o umerador é sempre uma fução positiva, existe M > tal que f (x) <, para x > M. E = Logo, a série coverge pelo Critério de Leibitz. Com isso, a série coverge codicioalmete. (b) Para essa série utiliza-se o Critério da Itegral. ( ) + 2/ / 3 =. 2 =. Seja f(x) = xe x2, para x >. A fução é decrescete, pois f (x) = e x2 ( 2x 2 ) <, se x >. A itegral a ser calculada é dada por: xe x2 dx 3

4 A itegral imprópria deve ser calculada da seguite maeira: xe x2 dx = b xe x2 dx Fazedo a seguite mudaça de variáveis: u = x 2 e du = 2x.dx = 2 b 2 e u du = 2 e u b2 = 2 (e b2 ) = 2 Como a itegral é covergete, coclui-se que a série coverge absolutamete pelo Critério da Itegral. (c) Notemos que Portato, a série pode ser covergete. cos (/x 3 ) /x 3 = se /x 3.( 3/x 4 ) 3/x 4 = Para aalisar o tipo de covergêcia, estuda-se o comportameto da série em módulo, ou seja: = 3 [ cos 3 ] Faz-se uma comparação o ite com b = 3, um termo geral cuja série correspodete é covergete. Aplicado o Critério da Comparação o Limite: cos / 3 / 6 mudaça de variavel:u = / 3 cos u u 2 u Utilizado a Regra de L'Hôspital: u si u 2u = 2 Pelo Critério da Comparação o Limite, a série (em módulo) tem o mesmo comportameto da série logo coverge. Portato, a série coverge absolutamete. 3 = 4

5 Questão 3: (3,5 potos) (a) Obteha todos os valores reais de x para os quais a série abaixo é covergete: = (b) Determie para quais valores de p > a série divergete. (2x) l( + ) ( p + ) p = é covergete e para quais é Solução: (a) Para x = a série coverge. Tomemos x. Aplicado o critério da razão para o módulo: (2 x ) + l( + ) ( + ) l( + 2) (2 x ) = 2 x + l( + ) = 2 x l( + 2) + l( + ) l( + 2) Calculado o ite auxiliar: l(x + ) L Hospital = l(x + 2) x+ x+2 x + 2 = x + = + 2 x + x = Temos que (2 x ) + l( + ) ( + ) l( + 2) (2 x ) = 2 x Para 2 x < 2 < x < 2, temos que o módulo coverge, logo a série coverge absolutamete. Para 2 x > x > 2 ou x < 2, temos que o módulo diverge. Como estamos aplicado o critério da razão, podemos armar que para uma razão maior que o termo geral ão vai a zero, logo a série diverge. Para x = 2, temos = Passado para variável real:. Aplicado o critério da comparação o ite: l( + ) l(+) l l = l( + ) l x L Hospital = l(x + ) x x+ x + + x = = x = 5

6 Portato = l( + ) se comporta como = l. Utilizado o critério da itegral: f(x) = x l(x) é decrescete para x > 2, pois x > x 2 > 2 x l(x ) > x 2 l(x 2 ); e b du dx = 2 x l x l 2 u = l(l x) b = l(l(b)) l(l 2) = 2 Como a itegral diverge, diverge. Como se comporta da mesma maeira que l l( + ) = =, pode-se armar que l = = l( + ) também diverge. Logo a série diverge para x = 2 Para x = 2, temos ( ) l( + ). = Como se trata de uma série alterada cujo módulo diverge, aplicamos o Critério de das Séries Alteradas. i) b = l(+) é decrescete > 2, pois x = l( + ) é crescete > 2 (ver acima). ii) l( + ) = Sedo assim, temos que x = 2 ( ) l( + ) = a série coverge codicioalmete. coverge pelo Critério das Séries Alteradas. Portato, para (b) Multiplicado pelo cojugado, temos: = ( p + p ) Aplicado o critério da comparação o ite: p + + p p + + p = = p + + p p ++ p p 2 = p p + + p = Sedo assim, temos que = p + + p se comporta como = p. 2 Como = p p = 2 é uma série harmôica, pode-se dizer dizer que ela coverge para p 2 diverge para p 2 p 2. O mesmo resultado vale para = critério da comparação o ite, elas se comportam da mesma maeira. > p > 2 e ( p + p ), pois vimos que, pelo 6

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8 Turma B Questão : (3,5 potos) Istituto de Matemática e Estatística da USP MAT Cálculo Diferecial e Itegral IV para Egeharia a. Prova - 2o. Semestre 23-9/9/23 (a) Calcule, justicado, o ite das seguites sequêcias: (i) x = ( (ii) x = ) (b) Seja (x ) a sequêcia dada por: x = x 2 = e = + x +2 x + x Solução: (a) (i) Maipula-se o termo geral: x = ( ) = 2 = e l 2 Calcula-se o ite: x = e l 2 l = e 2 Sedo a = f() ode f é uma fução real, calcula-se o ite utilizado a Regra de L'Hôspital para sua solução: Logo, o ite pedido é: l x x 2 = x 2x = 2x 2 = (2) l e 2 = e = (ii) x = 3 = 3 3 = ( ) 6 = ( ) ( ) ( ) ( )

9 Fazedo o ite: x = e e = e 6 6 (b) Para mostrar que a sequêcia é covergete, vamos mostrar que a sequêcia é decrescete e de termos positivos, portato itada. Primeiramete otemos que x >. Vamos provar por idução. De fato, x 3 = 2 >. Supodo que x k >, para todo k temos que Portato, x + >. Assim x >, para todo. Do euciado: = + > x + x x = + > x +2 x + x x + x +2 < x + Logo, a sequêcia é decrescete e itada, portato coverge. Como a sequêcia coverge, tem-se que x = L Supodo que L, substituido a relação de recorrêcia: L = L + L L = Absurdo. Portato L =. Logo: x = 9

10 Questão 2: (3, potos) Determie se as séries abaixo covergem absolutamete, codicioalmete ou divergem: (a) ( ) = ( ) (b) = e 2 (c) = ( ) 2 [ cos ( 2 )] Solução: (a) Primeiramete aalisemos a série ( ( ) ) = Faz-se uma comparação o ite com b =, termo geral de uma série que diverge. Logo, aplicado esse critério: a = b = 2 Logo, pelo Critério da Comparação o Limite, a série tem o mesmo comportameto da série diverge, logo a série = ( 3 ) também diverge. + = que A série em questão é alterada, logo a covergêcia é testada pelo Critério de Leibitz. Deve-se vericar que ( ) i) b = é decrescete; + ii) b =. Cosidere f(x) = x3 +3 3x 4 +. Derivado temos f (x) = 3x6 36x 3 +3x 2 (3x 4 +) 2. Como o ite 3x6 36x 3 + 3x 2 = e o umerador é sempre uma fução positiva, existe M > tal que f (x) <, para x > M. E = Logo, a série coverge pelo Critério de Leibitz. Com isso, a série coverge codicioalmete. (b) Para essa série vamos utilizar o Critério da Itegral. ( ) + 3/ / 4 =. 3 =. Seja f(x) = xe x2, para x >. A fução é decrescete, pois f (x) = e x2 ( 2x 2 ) <, se x >. A itegral a ser calculada é dada por: xe x2 dx

11 A itegral imprópria deve ser calculada da seguite maeira: xe x2 dx = b xe x2 dx Fazedo a seguite mudaça de variáveis: u = x 2 e du = 2x.dx = 2 b 2 e u du = 2 e u b2 = 2 (e b2 ) = 2 Como a itegral é covergete, coclui-se que a série coverge absolutamete pelo Critério da Itegral. (c) Notemos que Portato, a série pode ser covergete. cos (/x 2 ) si /x 2.( 2/x 3 ) /x 2 = 2/x 3 = Para aalisar o tipo de covergêcia, estuda-se o comportameto da série em módulo, ou seja: = 3 [ cos 2 ] Faz-se uma comparação o ite com b = 2, um termo geral cuja série correspodete é covergete. Aplicado o Critério da Comparação o Limite: cos / 2 / 4 mudaça de variavel:u = / 2 cos u u 2 u Utilizado a Regra de L'Hôspital: u si u 2u = 2 Pelo Critério da Comparação o Limite, a série (em módulo) tem o mesmo comportameto da série logo coverge. Portato, a série coverge absolutamete. 3 =

12 Questão 3: (3,5 potos) (a) Obteha todos os valores reais de x para os quais a série abaixo é covergete: = (b) Determie para quais valores de p > a série divergete. (3x) l( + ) ( p + ) p = é covergete e para quais é Solução: (a) Aplicado o critério da razão para o módulo: (3 x ) + l( + ) ( + ) l( + 2) (3 x ) = 3 x + l( + ) l( + 2) = 3 x + l( + ) l( + 2) Calculado o ite auxiliar: l(x + ) L H = l(x + 2) x+ x+2 x + 2 = x + = + 2 x + x = Temos que (3 x ) + l( + ) ( + ) l( + 2) (3 x ) = 3 x Para 3 x < 3 < x < 3, temos que o módulo coverge, logo a série coverge absolutamete. Para 3 x > x > 3 ou x < 3, temos que o módulo diverge. Como estamos aplicado o critério da razão, podemos armar que para uma razão maior que o termo geral ão vai a zero, logo a série diverge. Para x = 3, temos = Passado para variável real:. Aplicado o critério da comparação o ite: l( + ) l(+) l l = l( + ) l x L H = l(x + ) x x+ x + + x = = x = 2

13 Portato = l( + ) se comporta como = l. Utilizado o critério da itegral: f(x) = x l(x) é decrescete para x > 2, pois x > x 2 > 2 x l(x ) > x 2 l(x 2 ); e Como a itegral diverge, 2 b du dx = x l x l 2 =, pode-se armar que l = = Para x = 3, temos u = l(l x) b diverge. Como l ( ) l( + ). = 2 = l(l(b)) l(l 2) = se comporta da mesma maeira que l( + ) l( + ) também diverge. Logo a série diverge para x = 3 = Como se trata de uma série alterada cujo módulo diverge, aplicamos o Critério de das Séries Alteradas. i) b = l(+) é decrescete > 2, pois x = l( + ) é crescete > 2 (ver acima). ii) l( + ) = Sedo assim, temos que x = 2 ( ) l( + ) = a série coverge codicioalmete. coverge pelo Critério das Séries Alteradas. Portato, para (b) Multiplicado pelo cojugado, temos: = ( p + p ) Aplicado o critério da comparação o ite: p ++ p p 2 = p + + p p + + p = = p p + + p = Sedo assim, temos que = p + + p se comporta como = p. 2 Como = p 2 p + + p + + p = 2 é uma série harmôica, pode-se dizer dizer que ela coverge para p 2 diverge para p 2 p 2. O mesmo resultado vale para = critério da comparação o ite, elas se comportam da mesma maeira. > p > 2 e ( p + p ), pois vimos que, pelo 3