Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis. 10º Ano de Matemática A. Geometria no Plano e no Espaço I. Tarefa Intermédia 8. Grupo I

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1 Escola Scundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano d Matmática A Gomtria no Plano no Espaço I Tarfa Intrmédia 8 Grupo I As três qustõs do Grupo I são d scolha múltipla. Slccion, para cada uma dlas, a ltra qu corrspond à opção qu considra corrcta 1. Considr os pontos P( 3,0 ), A ( 1,2 ) B( 2,1) translação dfinida plo vctor AB tm coordnadas: (A) ( 2, 1) (B) ( 0,3 ) (C) ( 6,3) (D) ( 6, 1). O ponto P' qu é o transformado d P na 2. Na figura ao lado o vctor d coordnadas ( 4,6,2 ) pod sr: (A) (C) DG (B) CH AF (D) BE 3. Plos pontos A ( 1, 3,0), B( 1, 2,1) C( 3, 1,2 ) passa (ou passam): (A) um um só plano (B) uma infinidad d planos (C) três só três planos (D) nnhum plano Grupo II Para as qustõs do Grupo II indiqu todos os cálculos qu fctuar, justifiqu os raciocínios aprsnt as justificaçõs qu considrar ncssárias Profssora: Rosa Canlas 1

2 1. O rfrncial ( O,i, j) aprsntado na figura é o.n Indiqu as coordnadas dos vctors AD, BC GF Indiqu as coordnadas do ponto médio do sgmnto d rcta [FH] Escrva uma quação vctorial da rcta CD outra da rcta r qu passa m E é paralla à rcta GF Escrva a quação rduzida da rcta AE da rcta qu passa pla origm é paralla à rcta HG. 2. Ao octadro rgular rprsntado na figura foi aplicado um rfrncial o.n. ( O,i, j,k ). O ponto B tm coordnadas ( 4,4,0 ) Mostr qu as coordnadas do vértic M são ( 2,2,2 2 ) 2.2. Escrva uma quação vctorial da rcta BM Indiqu as coordnadas d um ponto da arsta [BM] qu não sja vértic do octadro. Profssora: Rosa Canlas 2

3 Escola Scundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano d Matmática A Gomtria no Plano no Espaço I Tarfa Intrmédia 8 Proposta d rsolução Grupo I 1. (A) Considrmos os pontos P( 3,0 ), A ( 1,2 ) B( 2,1). O ponto P' qu é o transformado d P na translação 4 dfinida plo vctor AB tm coordnadas ( 2, 1) Ou = + = + = P' P AB ( 3,0) ( 2,1) ( 1,2 ) ( 3,0) + ( 1, 1) = ( 2, 1) B A 2 O P 2. (A) Na figura ao lado o vctor d coordnadas ( 4,6,2 ) pod sr DG porqu s a abcissa é ngativa trmos d partir da origm do vctor para trás plo qu o ponto dv star na fac da frnt, s a ordnada é positiva tmos d nos dslocar para a dirita plo qu a origm dv star do lado squrdo finalmnt como a cota é positiva é prciso subir plo qu a origm do vctor dv star m baixo, só pod sr D assim a xtrmidad é G. -2 P' 3. (B) Plos pontos A ( 1, 3,0), B( 1, 2,1) C( 3, 1,2 ) passa uma infinidad d planos pois 3 pontos dfinm um só plano s form não colinars s form colinars dfinm uma rcta por ond pod passar uma infinidad d planos. Calculmos os vctors BC = ( 3, 1,2 ) ( 1, 2,1) = ( 2,1,1 ) BA = ( 1, 3,0) ( 1, 2,1) = ( 2, 1, 1) facilmnt vrificamos qu BA = BC o qu prova srm os 3 pontos colinars. Grupo II Profssora: Rosa Canlas 3

4 1. O rfrncial ( O,i, j) aprsntado na figura é o.n As coordnadas dos vctors AD, BC GF GF = 2, 4 ( ) são AD = ( 3, 1), BC = ( 0, 3) 1.2. As coordnadas do ponto médio do sgmnto d rcta [FH] são: , =, H( 4,4 ) porqu F( 3, 1) 1.3. Uma quação vctorial da rcta CD é ( x, y) = ( 3, 3) + k ( 2,4 ),k R porqu C( 3, 3) CD = ( 2,4 ) outra quação vctorial da rcta r qu passa m E é paralla à rcta GF é ( x, y) = ( 1,3 ) + k ( 2, 4 ),k R pois E( 1,3 ) GF = 2, 4 ( ) 1.4. Para scrvr a quação rduzida da rcta AE comçamos por idntificar as coordnadas dos pontos A ( 4,2) E( 1,3 ) dpois as do vctor AE = ( 5,1) 1. Daqui concluímos qu mae = da família d rctas 5 vamos ncontrar a qu passa por A: ( ) concluímos sr a quação rduzida da rcta AE 1 y = x + b = 4 + b b = 2 + b =. Finalmnt y = x Para scrvr a quação rduzida da rcta qu passa pla origm é paralla à rcta HG = 1, 1 concluímos sr o dcliv HG, basta-nos ncontrar as coordnadas do vctor ( ) dsta rcta igual a 1 por passar na origm, a ordnada na origm é zro. A quação rduzida da rcta HG é y = x. 2. Ao octadro rgular rprsntado na figura foi aplicado um. rfrncial o.n. ( O,i, j,k ) O ponto B tm coordnadas ( 4,4,0 ) As coordnadas do vértic M são ( 2,2,2 2 ) pois o ponto M tm projcção no plano xoy no cntro do octadro qu Profssora: Rosa Canlas 4

5 tm coordnadas ( 2,2,0 ) plo qu a abcissa a ordnada são ambas iguais a 2. A cota é mtad da diagonal do octadro qu é mtad da diagonal d um quadrado d lado 4. Como ssa diagonal md 4 2 a cota d M é Uma quação vctorial da rcta BM é ( x, y, z) = ( 4, 4,0) + k ( 2, 2,2 2 ),k R porqu BM = 2,2,2 2 4, 4,0 = 2, 2,2 2 ( ) ( ) ( ) Um ponto da arsta [BM] qu não sja vértic do octadro pod obtr-s atribuindo a k 1 um valor do intrvalo ]0,1[, por xmplo fazndo k = : x, y, z = 4, 4,0 + 2, 2,2 2 x, y,z = 4,4,0 +,, =,, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Também podíamos calcular o ponto médio da arsta [BM] com coordnadas ( ) ,, = 3,3, Profssora: Rosa Canlas 5

6 Escola Scundária com 3º ciclo D. Dinis 10º Ano d Matmática A Gomtria no Plano no Espaço I Tarfa Intrmédia 8 Critérios d corrcção Grupo I A A B Cada rsposta crta dst grupo I val 5 pontos s stivr crta. Grupo II Vctor AD... 2 Vctor BC... 2 Vctor GF Calcular F( 3, 1)... 2 Calcular H( 4,4 )... 2 Calcular coordnadas do ponto médio 7 3, Calcular C( 3, 3)... 2 Calcular CD = ( 2,4 )... 3 Escrvr a quação... 3 Calcular E( 1,3 )... 2 Calcular GF = ( 2, 4)... 2 Escrvr a quação Idntificar as coordnadas A E... 2 AE = 5, Calcular ( ) Encontrar o dcliv d AE 2 Encontrar a ordnada na origm. 4 Profssora: Rosa Canlas 6

7 Escrvr a quação da rcta HG. 2 HG = 1, Calcular ( ) Encontrar o dcliv d HG... 2 Idntificar a ordnada na origm 2 Escrvr a quação da rcta HG Justificar qu a abcissa é Justificar qu a ordnada é Justificar qu a cota é Calcular as coordnadas do vctor. 2 Escrvr a quação vctorial da rcta BM Idntificar o qu fazr para ncontrar um ponto da arsta 5 Calcular as coordnadas do ponto... 8 Total 100 Profssora: Rosa Canlas 7