FEUP - MIEEC - Análise Matemática 1

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1 FEUP - MIEEC - Aálise Matemática Resolução do exame de Recurso de 6 de Fevereiro de 9 Respostas a pergutas diferetes em folhas diferetes Justifique cuidadosamete todas as respostas. Não é permitida a utilização de máquia de calcular. O tempo para a realização desta prova é de horas. Cotações: Perg. : valores; Perg. :, 5 valores; Perg. :, 5 valores; Perg. : valores; Perg. 5: valores; Perg. 6: valores.. Idique se cada uma das seguites afirmações é verdadeira ou falsa e justifique. cos (x) (a) x x x 9. Aplicado directamete ites, vem x cos (x) x x ( ) que é uma idetermiação. Tedo como objectivo a aplicação da regra de L Hôpital, podemos escrever: cos (x) cos (x) x x x x x A regra de L Hôpital é agora aplicável. Aplicado ovamete a regra de L Hôpital: si (x) Coclusão: 9 x x ( cos (x)) si (x) x (x ) x x ( si (x)) 9 cos (x) x (x) 9 x cos (x) e também x x 9. A afirmação é verdadeira. (b) Se f é uma fução cotíua, com f(x) > para todo o x R e g(x) estritamete crescete em R. x x f(t) dt, etão g é Como f é cotíua em R, g é derivável em R e g (x) f(x ).(x ) f( x)( x) x f(x ) + f( x) Sedo f(x) >, para todo x R, vem f(x ) > e f( x) >. Como x, podemos cocluir que g (x) x f(x ) + f( x) >, para todo x R. Coclusão: g é estritamete crescete em R. Afirmação verdadeira.

2 . Calcule os seguites itegrais: arcta (x) (a) x dx. [Sugestão: Comece por efectuar uma itegração por partes]. Se f (x) x e g(x) arcta (x), etão f(x) x e g (x) + x. arcta (x) x dx x arcta (x) dx arcta (x) x x arcta (x) + x( + x ) dx Decompodo a fracção em fracções simples: x + x dx x( + x ) A x + Bx + C + x A( + x ) + (Bx + C)x A + Cx + (A + B)x A C A + B A C B arcta (x) x dx arcta (x) + x x x + x dx x arcta (x) + l x l ( + x ) + C que pode aida escrever-se como arcta (x) x dx x x arcta (x) + l + C + x (b) si x cos x cos x si x + dx. É um itegral do tipo (b) (ver formulário). Mudaça de variável acoselhada: t si (x). Assim dt cos (x)dx e si x cos x cos x si x + dx t t t + dt t t t dt t t + t t. Logo t t + (t )(t + ). Decompodo a fução itegrada em f racções simples: com e t t t t (t )(t + ) A si x cos x cos x si x + dx t (t + ) t t (t )(t + ) A t + e B t (t ) t B t + t t + dt l t l t + + C l (t + ) (t ) + C l (si x + ) (si x ) + C l ( (si x + ) ( si x) ) + C

3 . Determiar a área da região itada simultaeamete pelas curvas y, y 8x e y x. Comece por x fazer um esboço da região. Esboço da região: Itersecções: y 8x y x y x y x x 8x x x { 8x { x x y { x y Cálculo da área: 8x x dx + x x dx 7x dx + [ ] 7 x x x + [ x x dx ] 7. + ( ) 8

4 . (a) Determie a solução da equação diferecial x y + y que satisfaz y(). Idique o domíio da solução. x y + y y x y Equação diferecial de variáveis separáveis. Regra prática de resolução: y x y y dy dx (Se y. Mas y aida é solução.) x y dy x dx y x + C Cx y x Solução geral da equação diferecial: y(x) x + Cx, C R y(x) Solução particular que satisfaz y() : + C + C C { } Domíio da solução: R \. Maior itervalo que cotém o poto x ode está defiida a solução: y(x) x + Cx, C R y(x) x x x + x ] [, +. (b) Cosidere a equação diferecial y y x. i. Verifique que a equação diferecial admite uma solução da forma y(x) Ax + Bx para determiados A, B R. Se y(x) Ax + Bx, etão y (x) A + Bx e y (x) B. Substituido a equação diferecial: { A 8B A B (A + Bx) x 8B A 8Bx x 8B B 8 Coclusão: y(x) x 8 x é solução da equação diferecial. ii. Determie a solução geral da equação diferecial dada. Solução geral: y(x) y p (x) + C y (x) + C y (x), C, C R. y p (x) é uma solução particular da equação diferecial. Na alíea aterior já foi verificado que y(x) x 8 x é uma tal solução. {y, y }: sistema fudametal de soluções da equação diferecial homogéea associada, ou seja, y y. Determiação de y e y : Equação característica e raízes: r r r(r ) r r. Sistema fudametal de soluções: {, e x }. Coclusão, a solução geral da equação diferecial é: y(x) x 8 x + C + C e x, C, C R

5 5. (a) Idique a atureza da série +. Trata-se de uma série de termos ão egativos. Também: + ( ) 9 A série é uma série geométrica de razão r, com r <. Logo é covergete. Podemos 9 9 cocluir etão que também é covergete. + (b) Determie o itervalo de covergêcia da série de potêcias a + + (x ) + (+)+5 a +5 (x ) x + 5 (x ) x x x Se x < < x < 5, a série coverge e se x > a série diverge. Nos potos x tais que x x x 5 série coverge ou diverge. Aalisemos estes casos. o teste utilizado ão os permite cocluir se a (i) x + 5 (x ) ( + 5 ) ( ) + 5 Série alterada, com a decrescete e covergete para. Pelo critério das séries + 5 alteradas, a série ( ) coverge. + 5 (ii) x 5 É uma série do mesmo tipo que Como a série (x ). De facto, ( ) é divergete (p-série, com p ), também a série é divergete. + 5 Coclusão: o itervalo de covergêcia da série é [, 5 [. 5

6 6. (a) Se f e g são fuções com derivadas de a ordem cotíuas e que satisfazem f() g() f() g(), verifique que f(x)g (x) dx Que outra codição sobre os valores de f e g e suas derivadas em e poderia ser imposta de forma a cotiuar a garatir que a igualdade seja válida? Efectuado sucessivamete itegrações por partes e cosiderado os dados do problema, vem: f(x)g (x) dx [f(x)g (x)] f (x)g (x) dx f()g () f()g () [f (x)g(x)] + f (x)g (x) dx f ()g() + f ()g() + + A igualdade cotiua a ser válida se f()g () f()g () f ()g() + f ()g(). 6

7 (b) Cosidere a fução f : (, ) R defiida por f(x) matemática, que x. f () (x) ( )! [ (x ) (x + ) ] Verifique, usado idução { Seja S N : f () (x) ( )! [ (x ) (x + ) ]}. S Derivado f(x) x, vem f (x) () (x ) (x ) x (x ) ((x )(x + )) x (x ) (x + ) Provar que S equivale a provar que f (x) ( )! [ (x ) (x + ) ] (x ) + (x + ) (x + ) (x ) x (x ) (x + ) (x ) (x + ) o que se verifica como foi visto atrás. k S k + S Hipótese de idução: k S f (k) (x) ( ) k k! [ (x ) k (x + ) k ]. Tese de idução: k + S f (k+) (x) ( ) k+ (k + )! [ (x ) k (x + ) k ]. Usado a hipótese de idução e derivado: f (k+) (x) verificado-se a tese de idução. f (k) (x) ( ) k k! [ ( k )(x ) k ( k )(x + ) k ] ( ) k k!( k ) [ (x ) k (x + ) k ] ( ) k k!( )(k + ) [ (x ) k (x + ) k ] ( ) k+ (k + )! [ (x ) k (x + ) k ] Coclusão: pelo pricípio de idução fiita S N, ou seja, f () (x) ( )! [ (x ) (x + ) ], N JCB JRC MMF RPSR VCP 7