Centro de Ciências Tecnológicas - CCT - Joinville Departamento de Matemática Lista 5 de Cálculo Diferencial e Integral II Sequências e Séries

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1 Cetro de Ciêcias Tecológicas - CCT - Joiville Departameto de Matemática Lista 5 de Cálculo Diferecial e Itegral II Sequêcias e Séries. Determie os quatro primeiros termos de cada uma das sequêcias dadas abaixo. Calcule também lim u, caso exista. u = (e) u = + u 4+2 = ( ) 5 (f) u = l (g) u = l ( u = ( ) (d) u + = ) (h) u = ) (l) u = 2 2 (i) u = cos π (j) u 2 = arcta (k) u = ( 2 (m) u = 3 () u e 2 = + ( ) (o) u = (p) u = Dados os termos abaixo, determie uma expressão para as sequêcias. {, 2, 4, 8, } {, 2, 4, 8, } {, 3, 5, 7, } (d) { 0, 4, 2 9, 3 6, } 3. Classique, se possível, as sequêcias abaixo quato à sua mootoicidade. u = (e) u = 0 (2)! 2 u = 2 u = e (d) u = (f) u = (g) u = +l (h) u = 3 4. Supoha que u seja uma sequêcia moótoa tal que u 5. Esta sequêcia deve covergir? O que mais pode ser dito sobre o seu limite? 5. Supoha que u seja uma sequêcia moótoa tal que u 5. Esta sequêcia deve covergir? O que mais pode ser dito sobre o seu limite? ( ) 6. Pode-se obter aproximações de k utilizado a sequêcia recursiva u + = u 2 + k u, ode u =. 2 Ecotre as aproximações u 2, u 3, u 4, u 5, u 6 para 0. Mostre que, se L = lim u, etão L = k. 7. Uma das mais famosas sequêcias é a sequêcia de Fiboacci (70-250), deida pela recorrêcia u + = u + u, ode u = u 2 =. Determie os dez primeiros termos desta sequêcia. Os termos da ova sequêcia x = u + u dão uma aproximação para o igualmete famoso úmero de ouro (ou razão áurea), deotado por τ. Determie uma aproximação dos cico primeiros termos dessa ova sequêcia. Supodo que τ = lim x, mostre que τ = 2 ( + 5).

2 2 8. Ecotre o termo geral da sequêcia de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determie se a série coverge ou diverge, obtedo o valor de sua soma, se possível. 8 (2 ) (2 + ) (4 3) (4 + ) ( + ) 2 (d) ( ) l + (e) 2 5 (f) ( + ) ( + + ) (g) ( + 2) (h) Aalise se as armações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justique seus argumetos, exibido cotra-exemplos para as armações falsas ou provado as armações verdadeiras. Toda sequêcia limitada é covergete. Toda sequêcia limitada é moótoa. Toda sequêcia covergete é ecessariamete moótoa. (d) Toda sequêcia moótoa decrescete coverge para zero. (e) Se u for decrescete e u > 0 para todo N, etão u é covergete. (f) Se < q <, etão lim + q = 0. (g) Se a sequêcia u coverge, etão a série (h) Se u coverge, etão u também coverge. u também coverge. (i) Toda série alterada covergete é codicioalmete covergete. ( 3 + ) 2 (j) A série ( 4 + 5)( 2 é uma série umérica covergete. + ) x (k) Desevolvedo a fução g(x) = t 2 e t2 dt em série de potêcias obtém-se g(x) = ( ) x (2 + 3). (l) A série de potêcias ( )3 x é covergete o itervalo (, ) e sua soma é igual a 3 3 S = 3x + 3x. (m) Se a sequêcia u coverge etão a série () O raio de covergêcia da série da série (o) A série (u + u ) também coverge. ( ) (3x 5) é covergete e sua soma é igual a () 2 é iito.

3 3 (p) O critério da itegral garate que 0. Ecotre o termo geral da soma da série =3 l l(l ) coverge e verique se ela é covergete.. Ecotre ( a ) soma das séries abaixo, se possível. 5 5 (5 + 2)(5 + 7) (d) Usado o teste de comparação verique se as séries abaixo são covergetes ou divergetes. (d) (e) (f) se() 2 (g) (2 + )! (h) (i) (j) (k) (l) 2 (2)! (m) () (o) 2 + cos 2 (p) + 4 (q) + 2 (r) l Usado o teste de D 'Alambert verique se as séries abaixo são covergetes ou divergetes e ( + )2 + (d) (e) 3 2 ( 2 + 2) (f) 2 (2 + )! (g) + 5 (j) (h) (k) (i) (l) (m) ( + 2) ( + ) 4. Usado o teste de Cauchy, verique se as séries abaixo são covergetes ou divergetes. ( ) (l ) ( ) (d) Usado o teste da itegral verique se as séries abaixo são covergetes ou divergetes.

4 4 e l =2 l (d) ( + ) l ( + ) (e) arcta 2 + (f) e 2 (g) 2 e (h) e arcta 2 + (i) (j) 2 + (k) ( + l 2 ) 6. Use o teste da itegral, se possível, para determiar para quais valores de p > 0 a série coverge. + =2 (l ) p 7. Verique se as séries abaixo são absolutamete covergete, codicioalmete covergete ou divergete. ( ) 2 ( ) (2 )! ( ) 2 ( ) (d) 2 ( ) (e) ( ) (f) ( ) (g) ( ) 3 (h) ( ) (i) ( ) (j) ( ) (k) ( ) 2 (l) (2 5) 4 ( ) e (m) ( ) 2 + () ( ) (o) ( ) Classique as séries uméricas abaixo como absolutamete covergete, codicioalmete covergete ou divergete, justicado sua resposta. ( ) (23+4 ) e 3 cos(π) ( ) + (d) (g) ( ) ( + )! (2) si(π) (e) (h) ( ) cos() + si() 3 + (f) (i) ( ) 7 3+ (l ) e 2 2 e 9. Determie o raio e o itervalo de covergêcia das séries de potêcias abaixo.

5 5 x ( ) x 3 (3x 2) (d) ( ) 4 x (e) ( 2) x 4 (f) =2 ( ) x 4 l (g) (x + 2) (h) 3 + (x 4) (i) ( ) (x + 2) 2 (j) (2x ) (k) x 3 (l) (4x 5) (m) (x 5) 2 + () (x + 2) (2 5) (o) 4 (x ) e (p) 20. Seja f(x) = 2 (x + ) 2 + (q) (x ) (r) x. Determie os itervalos de covergêcia para f, f e 2 2. A partir da soma da série geométrica x x (2 )x ( ) f. x, para x <, ecotre as somas das séries abaixo. 2 (d) ( )x =2 (e) =2 2 2 (f) 2 2 (g) ( ) x (h) ( ) 2 ( + ) 22. Ecotre uma represetação em série de potêcias, cetradas em zero, para as fuções abaixo. f(x) = f(x) = x f(x) = + x x x 2 (d) f(x) = x 2 ( 2x) 2 (e) f(x) = x 3 (x 2) 2 (f) f(x) = l(5 x) (g) f(x) = x l(x 2 + ) 23. Expresse as itegrais ideidas abaixo como uma série de potêcias, cetradas em zero. x l( x 2 ) x arcta x dx dx dx (d) arcta x 2 dx x8 x 2 x Utilize a represetação em série de potêcias, cetrada em zero, de f(x) = arcta x para provar a seguite expressão para π como soma de uma série umérica: π = 2 3 ( ) 3 (2 + ). 25. Mostre que a fução f(x) = x é solução da equação diferecial f (x) = f(x).

6 6 26. Mostre que as fuções f (x) = ( ) x 2 (2)! diferecial f (x) + f(x) = 0. e f 2 (x) = ( ) x 2+ (2 + )! são soluções da equação 27. Ecotre a soma das seguites séries ( ) π 2+ ( ) π (2 + )! 6 2 (2)! 28. Ecotre o raio e o domíio de covergêcia da série 29. Determie o itervalo de covergêcia da série 30. Mostre que a série de potêcias igual a S = x 2. ( ) x 2 3 (3x 5). 7 (d) 2 (x 2) 5 ( + 2 ) é covergete o itervalo ( 3, 3) e que sua soma é 3. Determie o itervalo de covergêcia da série de potêcias que represeta a fução f(x) = 4 x 2 expadida em toro de a =. 32. Desevolva a fução f(x) = cosh(x 3 ) em série de MacLauri, determiado o termo geral de sua expasão e o seu itervalo de covergêcia. 33. Determie o itervalo e o raio de covergêcia da série de fuções, cetrada em zero, que represeta a fução f(x) = ex2. x 34. Usado séries de Maclauri, mostre que cos xdx = si x + k. 35. Desevolva a fução f(x) = de covergêcia. x 0 t 2 l(+4t 2 )dt em séries de MacLauri e determie o seu itervalo 36. Desevolver em série de Taylor e Maclauri as fuções: f(x) = si 2 x f(x) = x 2 si 2x f(x) = e 3x (d) f(x) = e x2 (e) f(x) = cos 2x (f) f(x) = si(x5 ) (g) f(x) = cos x x 3 x 2 (h) f(x) = x 3 e x2 37. Utilize desevolvimeto em séries de MacLauri para calcular os seguites limites.

7 7 lim cos 2x + 2x 2 x 4 lim l( + x 2 ) cos x l( + x 3 ) e x3 + (e) lim x 6 (g) lim cos(2x 2 ) e x4 x si(x 3 ) lim si(x 2 ) + cos(x 3 ) x 2 x 6 (d) lim l( + x 2 ) 3 si(2x 2 ) x 2 x 2 si(x 2 ) + e x4 (f) lim l( + x 4 ) (h) lim si(x 8 ) + cos(3x 4 ) e x8 38. Utilize séries uméricas e/ou séries de potêcias para ecotrar os valores reais de k que toram válidas cada uma das igualdades abaixo. e k = 9 lim e x4 cos(x 2 ) x Desevolver em série de Maclauri as seguites fuções: f(x) = f(x) = f(x) = x + x + x 2 si x (d) f(x) = (e) f(x) = dx (f) f(x) = e x2 dx x 2 ( x ) l( + x) + x (g) f(x) = dx (h) f(x) = l (i) f(x) = arcsi x x x (j) f(x) = arccos x (k) f(x) = arcta x (l) f(x) = 3 + x t 40. Calcule a itegral 3 dx utilizado expasão em série de potêcias, cetrada em zero. 0 + x 4 Determie o termo geral desta expasão ou faça o seu desevolvimeto com pelo meos 5 termos ão ulos. Respostas = k (d) 0 (e) (f) 0 (g) (h) (i) (j) π 2 (k) e 2 (l) 0 (m) 0 () (o) (p) 0 2. u = 2 u 3 = ( ) 2 u 3 = 2 2 (d) u = decrescete decrescete decrescete (d) decrescete (e) decrescete (f) crescete (g) decrescete (h) ão-decrescete 4. A sequêcia coverge, pois é uma sequêcia moótoa limitada. Seu limite L é tal que L Se a sequêcia for moótoa crescete, será covergete, com limite L 5. Porém, se a sequêcia for moótoa decrescete ada podemos armar.

8 8 6. Dica para o item : Note que se L = lim u etão lim u + = L. Com isso, aplica-se limites + + ( em ambos lados da relação de recorrêcia dada e obtém-se que L = 2 L + k L). Agora basta isolar L. 7. Dica para o item : Note que se τ = lim + x = u + u lim etão lim + u + u =. Com isso, τ aplica-se limites em ambos lados da relação de recorrêcia dada e obtém-se que τ = + τ. Agora basta isolar τ. 8.. S k = k 2k +. Coverge para 2 S k = 8k. Coverge para 2 4k + S k = k (k + 2) (k + ) 2. Coverge para (d) S k = l(k + ). Diverge (e) S k = 3 2k 3.5 k. Coverge para 3 (g) S k = 2 (k + 2)!. Coverge para 2 (f) S k = k +.Coverge para (h) S k = k + k + 2. Coverge para F F F (d) F (e) V (f) V (g) F (h) F (i) F (j) F (k) V (l) V (m) V () V (o) V (p) F 0. S k = 2 2. A série coverge para 2. 2k +. S = 4 S = 7 S = 7 24 (d) A série diverge 2. Legeda: C (covergete), D (divergete), I (icoclusivo): C C C (d) D (e) D (f) C (g) C (h) C (i) C (j) D (k) C (l) C (m) D () D (o) C (p) D (q) C (r) C 3. Legeda: C (covergete), D (divergete), I (icoclusivo): C D C (d) I (e) D (f) C (g) I (h) C (i) I (j) C (k) D (l) D (m) C 4. Legeda: C (covergete), D (divergete), I (icoclusivo): C C C (d) C 5. Legeda: C (covergete), D (divergete), I (icoclusivo): C D D (d) D (e) C (f) C (g) C (h) C (i) D (j) C (k) C 6. Coverge para p > e diverge para 0 < p.

9 9 7.. absolutamete absolutamete absolutamete (d) absolutamete (e) divergete (f) absolutamete (g) absolutamete (h) codicioalmete (i) divergete (j) codicioalmete (k) divergete (l) absolutamete (m) codicioalmete () absolutamete (o) codicioalmete 8.. absolutamete codicioalmete codicioalmete (d) absolutamete (e) absolutamete (f) absolutamete (g) divergete (h) absolutamete (i) divergete 9. I é o itervalo de covergêcia e R é o raio de covergêcia R =, I = [, ) R =, I = [, ] R =, I = (, ) (d) R =, I = (, ) (e) R =, I = (, ] (f) R = 4, I = ( 4, 4] (g) R = 3, I = ( 5, ) (h) R =, I = (3, 5) (i) R = 2, I = ( 4, 0] (j) R = 0, I = { } (k) R = 3, I = [ 3, 3] (l) R =, I = [, 3] (m) I = [4, 6), R = () I = ( 4, 0), R = 2 (o) I = ( e, + e), R = e (p) I = [ 3, ], R = (q) I = [0, 2], R = (r) I = ( 3, 3), R = [, ], [, ] e (, ), respectivamete. 2.. x 2x 2 2 (d) ( x) 2 ( x) 2 ( x) 3 (e) 4 (f) 6 (g) l( + x) (h) 2 l f(x) = ( ) x 3 f(x) = ( ) x f(x) = ( ) 4 x 2+ (d) f(x) = 2 x (e) f(x) = x +2 (f) f(x) = x ( + )5 + (g) f(x) = ( ) x x K x 2 (2 ) + K ( ) + x K (d) ( ) x 4+3 (4 + 3)(2 + ) + K 24. Dica: Mostre que arcta x = ( ) x e depois faça x = Dica: derive termo a termo, desloque o ídice do somatório e substitua a equação dada. 26. Dica: derive termo a termo, desloque o ídice do somatório e substitua a equação dada.

10 Itervalo de covergêcia: 29. Itervalo de covergêcia: 2 e 3 (d) e x 9 2 e raio de covergêcia R = x < Dica: Note que a série dada é geométrica! 3. ( ) (4 + 4)(x ), itervalo de covergêcia: 0 < x < cosh(x 3 ) = x 6, que coverge para todo x R (2)! 33. Desevolvimeto em séries de MacLauri : f(x) = seja, o raio de covergêcia é iito. 34. Basta itegrar termo a termo. 35. f(x) = ( ) 4 + x 2+5 ( + )(2 + 5) 36. Desevolvimeto em séries de Maclauri coverge para 2 x 2. x 2 que coverge para todo x R, ou ( ) 2 2+ x 2+2 (2 + 2)! ( ) 2 2+ x 2+3 (2 + )! 3 x (d) ( ) x 2 (e) ( ) 2 2 x 2 (2)! (f) ( ) x 0+2 (2 + )! (g) ( ) x 2 2 (2)! (h) x (d) 5 (e) (f) 2 (g) 3 (h) k = l 8 9 k = Desevolvimeto em Séries de MacLauri

11 x + ( ).3.5..(2 )x 2 ( ) x 2 (d) (2 )x 2 2 (e) (g) ( ) x 2+ (2 + )!(2 + ) + C (f) ( ) x + ( + ) 2 + C (h) ( ) x 2+ (2 + )! 2x C (i) x (2 )x 2+ (2 + )2 (j) x.3.5..(2 )x 2+ (2 + )2 40. (k) t 0 ( ) x dx = t + + x 4 (l) + 3 x + =2 ( ) (3 2)t 4+ (4 + ).3 ( ) (3 4)x 3