Instituto de Matemática - UFRJ Análise 1 - MAA Paulo Amorim Lista 2

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1 Istituto de Matemática - UFRJ Lista. Sejam (x ), (y ) sequêcias covergetes, com x y,. Mostre que se tem lim x lim y. Sabemos das aulas teóricas que se uma sequêcia z verifica z 0, etão lim z 0 (caso exista). Portato, tomado z = y x, temos z 0 e lim z = lim(y x ) = lim y lim x 0.. Diga se são verdadeiras ou falsas as afirmações seguites: (a) Sejam (x ), (y ) sequêcias covergetes, com x < y,. Etão, lim x < lim y. (b) Sejam (x ), (y ) sequêcias tais que lim x y = 0. Etão, ou x 0, ou y 0. (a) É falso: por exemplo, x = / e y = /. (b) É falso: por exemplo, x = (0,, 0,, 0,,... ) e y = (, 0,, 0,,... ). 3. Mostre, usado a defiição, que (a) lim + =. (b) se x = 4 +, etão x ão coverge para 3. (a) Seja ɛ > 0. Começamos a resolução fazedo o cálculo auxiliar de tetar isolar a expressão + < ɛ. Fazedo a cota, vemos que isso é equivalete a > ɛ (faça a cota). Etão, se tomarmos 0 > ɛ, e se > 0 for qualquer, teremos (pelo cálculo auxiliar) que + < ɛ. Logo lim + =. (b) Supohamos por absurdo que x 3. Etão, dado qualquer ɛ > 0, teríamos para suficietemete grade que 4+ 3 < ɛ. Fazedo essa cota (ou seja, isolado ; tete), obtemos que (ɛ ) >. Tomemos agora ɛ = /. Nesse caso, obtemos que >, o que é absurdo já que o lado direito é egativo e o lado direito positivo. 4. Mostre a desigualdade de Beroulli: Para todo x, N, tem-se ( + x) + x. de 8

2 Lista (cotiuação) Por idução em. 5. (a) Seja a >. Mostre que a sequêcia a é crescete e ilimitada. (b) Seja 0 a <. Mostre que a sequêcia a coverge para zero. (Sugestão para as duas: multiplicar a > (o caso (i)) por a.) (a) Multiplicado a desigualdade a > pelo úmero positivo a, achamos a + > a, e portato a sequêcia é crescete. Como a >, podemos escrever a = + h, com h > 0. Etão, pela desigualdade de Beroulli, temos a = ( + h) + h. Assim, se M > 0 é qualquer, basta tomar > M h para termos + h > M, e cosequetemete, a > M. Logo a é ilimitada superiormete e, além disso, a +. (b) Com a > 0, multiplicado a desigualdade a < pelo úmero positivo a, achamos 0 a + < a, e portato a sequêcia é decrescete e limitada (pois a (0, a ).), logo é covergete. Mostremos que coverge para zero. Seja L = lim a. Temos a + = a a, logo, tomado o limite em ambos os lados, obtemos al = L. Se L 0, etão a =, que ão é verdade. Logo L = Seja {x } uma sequêcia, e supoha que as subsequêcias {x } e {x + } covergem para o mesmo limite L. Mostre que x L. Seja ɛ > 0. Etão, existe 0 tal que > 0 = x L < ɛ, e existe tal que > = x + L < ɛ. Cosidere agora um x. Ou é par, ou é ímpar. Se = m, etão sei que se tomar m > 0 (ou seja, > 0 ), terei x m L < ɛ e logo x L < ɛ (pois = m). Do mesmo modo, se é ímpar, = m + para algum m (supodo > 3, que ão é um problema). Etão, tomado > + (que vem de m > ), terei x m+ L < ɛ e logo x L < ɛ (pois = m + ). Assim, sedo > = max{ 0, + }, obteho sempre x L < ɛ, e portato x L. Note que este resultado só foi possível porque a uião das duas subsequêcias preeche a sequêcia toda! 7. Seja {x } uma sequêcia, e supoha que as subsequêcias {x }, {x + } e {x 3 } covergem. Mostre que {x } coverge. Supoha que x L, x + L e x 3 L 3. Chamemos y à sequêcia x 3. A sua subsequêcia {y } coverge para L 3. Mas {y } também é uma subsequêcia de x, portato {y } coverge de 8

3 Lista (cotiuação) para L. Pela uicidade do limite, L 3 = L. De um modo muito semelhate, cocluímos que L 3 = L. Em particular, as subsequêcias {x } e {x + } covergem para o mesmo limite L. Pelo problema aterior, cocluímos que x L. 8. Utilize o método das sequêcias equadradas para determiar o limite das seguites sequêcias: (a)! (b)! ( a ), (c) a R (d) a!, a R ( p)! (e), p N! (f) + ( + ) + + (). (a) 0! / (b) 0! (c) 0 a a, para > a (e lembre que uma sequêcia coverge para zero sse o seu módulo coverge para zero) (d) 0 a a, se! a0 0 é tal que a [ 0, 0 + ). (e) 0 ( p)!! = ( ) ( p + ) 0. (f) 0 + ( + ) + + () Determie o limite de x = a b a, com a, b > 0. + b Se a = b, etão x = (a ) se a = b >. a = a. Assim, x 0 se a = b <, x se a = b =, e x + 3 de 8

4 Lista (cotiuação) Podemos etão supor que a b e, sem perda de geeralidade, que a < b. Existem 3 casos: a <, a =, ou a >. Em qualquer caso, temos a/b <, e portato a b 0. Repare que x = a b a + b = a a b +. Logo, x 0 = 0 se a < ( b), x se a = < b, e x + se < a < b. 0. Dê exemplos de sequêcias (x ), (y ) com: (a) x +, y, lim(x + y ) = +. (b) x +, y, lim(x + y ) =. (c) x +, y, lim(x + y ) = 0. (d) x +, y, lim(x + y ) = 7. (a) x =, y =. (obs: lim( ) = lim ( ) = + ). (b) x =, y =. (c) x =, y =. (d) x = + 7, y =.. Dê exemplos de sequêcias (x ), (y ) com: (a) x, y +, lim x y = 0. (b) x, y +, lim x y = +. (c) x, y +, lim x y = 74. (d) x, y +, lim x y ão existe, em é +. (a) x =, y =. (b) x =, y =. (c) x = 74, y =. (d) x = (se() + ), y =.. (a) Seja x = 3 +. Mostre que lim x = + usado a defiição. (b) Tete mostrar que + e eteda porque ão dá. 4 de 8

5 Lista (cotiuação) (c) Seja x = + ( ). Mostre que lim x = + usado a defiição. (a) Tem-se x + quado, M > 0, cosigo achar uma ordem 0 a partir da qual x > M. Ou seja, quero saber quado é que 3 + > M, o que é equivalete a > 3 M. Etão, se 0 > 3 M, terei para qualquer > 0 que > 0 > 3 M, e portato 3 + > M. (esta parte é só para complemetar a explicação:) Logo, dado qualquer M > 0, tão grade quato eu queira, eu achei uma ordem a partir da qual (essa ordem é 0 tal que 0 > 3 M ) terei x > M. Assim, x +. (b) Tetado fazer a mesma coisa com, precisaríamos que uca pode acotecer para M >. > M, ou seja < M. Mas isso (c) Seja M > 0. Observe que + ( ). Etão, se > M, terei automaticamete x > M. Mas para que > M, basta que M > 0, ou seja, que + 4 M 4 > 0, ou aida ( ) > M + 4 > M + 4 > M Ou seja, para todo maior que este valor, terei x > M. Logo, x Mostre que a sequêcia x = se é de Cauchy. (Sugestão: uma sequêcia é de Cauchy se, ε > 0, 0 tal que se > 0, etão x +p x < ε para todo p N.) Seja ε > 0. Cosideremos, com p >, se( + p) x +p x = +p se() = p se( + p) se(), pois p se(+p) e se() estão ambos em [, ], logo a sua distâcia é. Portato, se tivermos < ε, etão teremos x +p x ε para todo p N. Portato, o 0 procurado é tal que < ε, 0 ou 0 < ε 0 < log ε 0 > log ε. 4. Cosidere a sequêcia defiida por (a) Mostre que se tem a < 3, para todo. a = +! +! + 3! + +!. (b) Coclua que a possui um limite. Chamamos a esse limite a costate de Euler que é desigada por e e tem o valor aproximado de 8

6 Lista (cotiuação) (a) Temos a , ou seja a + ( ) i = + i=0 = 3. (b) Como (a ) é moótoa (óbvio a partir da sua defiição, pois é soma de úmeros positivos em cada vez maior úmero) e limitada, coverge. 5. Cosidere a sequêcia x defiida pela fórmula de recorrêcia x =, x + = +. x (a) Mostre que se tem x + x + x + x. (b) Mostre que (x ) é de Cauchy e que lim x = + 5. (a) Temos x + x + = x+ x x +x. Por outro lado, como x + = + x, vemos que x + x = x +. Mas x é crescete, e x =, logo x +. Assim, x + x e x +x. Isso prova (a). (b) Usemos que uma sequêcia é de Cauchy se, ε > 0, 0 tal que se > 0, etão x +p x < ε para todo p N. Seja ɛ > 0. Tetemos estimar x +p x, sabedo que apeas coseguimos estimar difereças de termos cosecutivos da sequêcia. Em primerio lugar observe que x k+ x k (/) k x x = (/) k. Etão, escrevemos x +p x x +p x +p + x +p x +p + + x + x (/) +p + (/) +p (/) = p j < =. j=0 Assim, basta tomar 0 tal que 0 < ɛ, e esse caso, pelo cálculo que acabámos de fazer, teremos x +p x < ɛ. Portato, (x ) é de Cauchy, logo covergete para algum L RR. Achemos o seu limite. Já vimos atrás que x + x = x +. Passado ao limite, e usado as leis algébricas dos limites, vemos que L = L+. Resolvedo, e escolhedo a raíz positiva (pois a sequêcia é positiva), achamos L = de 8

7 Lista (cotiuação) 6. Vamos mostrar que a série coverge. (a) Observe que se tem ( ), para. (b) Mostre que a série com termo geral ( ) coverge, tetado escrevê-lo como difereça de duas frações. (c) Use o critério da comparação para mostrar que coverge. (a) Ok. (b) Temos ( ) = ( ), e portato m = m ( ) = = = m = ( ( ) ) m Portato, a sequêcia das somas parciais x m = m = = = m. ( ) (que decide se a série coverge ou ão) é covergete para, e portato a série coverge. Lembre que é idiferete o que acotece a um úmero fiito de termos da série, quado apeas queremos saber se coverge. (c) Segue de (a). 7. Mostre que as séries covergem: (a) + = (b) ( ) (c) (d) = = = (a) +, teste comparação (b) ( ) =, que coverge (mude a variável para k =, sem esquecer de mudar = = também o extremo iferior da soma). 7 de 8

8 Lista (cotiuação) (c) (d) ( )( + ) ( ) + (pela desigualdade de Youg), teste comparação. ( + ) =, pois /. Note que também poderia ser resolvido com a desigualdade de Youg, e que o aterior poderia ser resolvido do mesmo modo que este. 8. Calcule =! (Sugestão: exercício 4.) Observe que =! = = ( )! = =0! = + e. 9. Mostre que, sedo a série u covergete, se tem u covergete. Use a desigualdade de Youg e o critério de comparação. 0. Mostre que a série a coverge, desde que a <. = Teste da razão.. Mostre que a série = x! coverge, para todo x R. Teste da razão. 8 de 8