Uma Introdução ao Estudo das Funções Matriciais

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1 Universidade Federal de Goiás Instituto de Matemática e Estatística Programa de Mestrado Pro ssional em Matemática em Rede Nacional Uma Introdução ao Estudo das Funções Matriciais Rogério Sullyvan e Silva Goiânia 0

2 TERMO DE CIÊNCIA E DE AUTORIZAÇÃO PARA DISPONIBILIZAR AS TESES E DISSERTAÇÕES ELETRÔNICAS (TEDE) NA BIBLIOTECA DIGITAL DA UFG Na qualidade de titular dos direitos de autor, autorizo a Universidade Federal de Goiás (UFG) a disponibilizar, gratuitamente, por meio da Biblioteca Digital de Teses e Dissertações (BDTD/UFG), sem ressarcimento dos direitos autorais, de acordo com a Lei nº 90/98, o documento conforme permissões assinaladas abaixo, para fins de leitura, impressão e/ou download, a título de divulgação da produção científica brasileira, a partir desta data.. Identificação do material bibliográfico: [ x ] Dissertação [ ] Tese. Identificação da Tese ou Dissertação Autor (a): Rogério Sullyvan e Silva rogeriosullyvan@gmail.com Seu pode ser disponibilizado na página? [ x ]Sim [ ] Não Vínculo empregatício do autor Secretaria Estadual de Educação do Estado de Goiás Agência de fomento: Fundação Coordenação de A- perfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Sigla: CAPES País: Brasil UF: GO CNPJ: / Título: Uma Introdução ao Estudo das Funções Matriciais Palavras-chave: Matrizes, funções, polinômio Título em outra língua: An Introduction to the Study of Matrix Functions Palavras-chave em outra língua: Matrices, functions, polynomial Área de concentração: Matemática do Ensino Básico Data defesa: (dd/mm/aaaa) 0/0/0 Programa de Pós-Graduação: Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional Orientador (a): Mário José de Souza mario_jose_souza@ufg.br Co-orientador (a):* *Necessita do CPF quando não constar no SisPG. Informações de acesso ao documento: Concorda com a liberação total do documento [ x ] SIM [ ] NÃO Havendo concordância com a disponibilização eletrônica, torna-se imprescindível o envio do(s) arquivo(s) em formato digital PDF ou DOC da tese ou dissertação. O sistema da Biblioteca Digital de Teses e Dissertações garante aos autores, que os arquivos contendo eletronicamente as teses e ou dissertações, antes de sua disponibilização, receberão procedimentos de segurança, criptografia (para não permitir cópia e extração de conteúdo, permitindo apenas impressão fraca) usando o padrão do Acrobat. Assinatura do (a) autor (a) Data: / / Neste caso o documento será embargado por até um ano a partir da data de defesa. A extensão deste prazo suscita justificativa junto à coordenação do curso. Os dados do documento não serão disponibilizados durante o período de embargo.

3 Rogério Sullyvan e Silva Uma Introdução ao Estudo das Funções Matriciais Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal de Goiás, como parte dos requisitos para obtenção do grau de Mestre em Matemática. Área de Concentração: Matemática do Ensino Básico Orientador: Prof. Dr. Mário José de Souza Goiânia 0

4 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação na (CIP) GPT/BC/UFG S8i Silva, Rogério Sullyvan. Uma Introdução ao Estudo das Funções Matriciais [manuscrito] / Rogério Sullyvan e Silva f. Orientador: Prof. Dr. Mário José de Souza Dissertação (Mestrado) Universidade Federal de Goiás, Instituto de Matemática e Estatística, 0. Bibliografia.. Funções (matemática). Matrizes (matemática). Polinômio I. Título. CDU:.

5 Rogério Sullyvan e Silva Uma Introdução ao Estudo das Funções Matriciais Trabalho de Conclusão de Curso defendido no Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT/UFG, do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal de Goiás, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática, área de concentração Matemática do Ensino Básico, aprovado no dia 0 de março de 0, pela Banca Examinadora constituída pelos professores: Instituto de Matemática e Estatística-UFG Presidente da Banca ~~ Seim~z Prof. Dr. Rui Departamento de Matemática-UnE Prof. Dr. Durval José Tonoii"'" Instituto de Matemática e Estatística-UFG

6 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial deste trabalho sem a autorização da universidade, do autor e do orientador. Rogério Sullyvan e Silva graduou-se em Matemática pela Universidade Federal de Goiás - UFG. Atualmente é professor da Rede Pública Estadual de Goiás.

7 Dedico esse trabalho a minha família e em especial a minha amada esposa Mirian Marques dos Anjos.

8 Agradecimentos Agradeço a Deus, a Universidade Federal de Goiás, ao professor Jesus Mota e a todos que contribuíram no decorrer deste curso, em especial ao professor Mário José pela orientação, aos meus amigos Neydiwan e Ronaldo pelo apoio nos momentos tensos do curso, aos meus familiares e a minha esposa Mirian pelo apoio e por acreditarem no sucesso deste trabalho. Agradeço ainda a CAPES pelo suporte nanceiro.

9 Resumo Em algumas áreas da matemática é de grande importância de nir funções matriciais e as funções mais utilizadas são os polinômios de matrizes quadradas. Avaliar um polinômio em matrizes quadradas é só uma questão de substituir as potências da matriz considerando a constante do polinômio como um múltiplo da matriz identidade. Neste trabalho serão estudadas as seguintes funções matriciais: exponencial, seno e cosseno. Palavras-chave matrizes, funções, polinômio. 0

10 Abstract In some areas of mathematics is of great importance to de ne matrix functions and frequently used functions are polynomials of square matrices. Evaluate a polynomial in square matrices is just a matter of replacing the powers of the matrix considering the constant of the polynomial as a multiple of the identity matrix. In this work the following matrix functions will be studied: exponential, sine and cosine. Keywords matrices, functions, polynomial.

11 Sumário Introdução Matrizes. Elementos de uma Matriz Classi cação de Matrizes Matrizes Especiais Operações com Matrizes Determinantes Classe de uma permutação Tabelas de permutações Tabela referente às permutações dos números e Tabela referente às permutações dos números, e Determinante de uma matriz Diagonalização de Matrizes Tópicos de Cálculo. Derivada de uma função Polinômio de Taylor Exponencial de uma Matriz Seno e Cosseno de uma Matriz Considerações Finais

12 Introdução Os conteúdos de matemática do ensino médio são a base para o estudo da mesma no ensino superior. Esse estudo é importante, uma vez que a matemática é utilizada nas mais diversas áreas da ciência. As aplicações da matemática, embora tão amplas e importantes, muitas vezes são ignoradas por parte dos alunos. Isso se dá, pelo pouco interesse em conhecer a disciplina e também pela maneira que os conteúdos são apresentados, sem mostrar suas possíveis aplicações. Diante disso, temos as matrizes que são fundamentais para o estudo de Álgebra Linear e por isso, são utilizadas em várias áreas do conhecimento como a economia, engenharias e na informática, visto que as matrizes podem ser utilizadas para representar transformações lineares. No ensino médio aprendemos calcular o seno, cosseno e a exponencial de um número real, mas será que é possível calcular o seno, cosseno e a exponencial de uma matriz quadrada? Neste trabalho mostraremos que sim. Apresentaremos um método para calcular seno, cosseno e exponencial de matrizes quadradas de ordem. Ainda iremos responder a seguinte pergunta: Se existe seno e cosseno de uma matriz quadrada A, a relação fundamental é válida, isto é, sen A + cos A = I? O presente trabalho se destina a mostrar que o estudo de matrizes é bem mais amplo do que é abordado no ensino médio, ou seja, além de somar, multiplicar e calcular determinantes de matrizes, existem várias funções de matrizes, tais como: exponencial, seno e cosseno. Apresentaremos no Capítulo um breve resumo sobre matrizes, através da de nição de matriz, suas classi cações, operações e suas propriedades e ainda determinantes. No Capítulo mostraremos todo o processo de diagonalização de uma matriz. Já no Capítulo serão apresentados os conceitos básicos de derivada, polinômio de Taylor e polinômio de Maclaurin que serão de grande importância para o desenvolvimento desse trabalho. Nos Capítulos e mostraremos um método de cálculo de exponencial, seno e cosseno de matrizes quadradas e por m responderemos a pergunta se a relação fundamental e válida para matrizes quadradas.

13 Matrizes Neste Capítulo faremos um breve resumo sobre matrizes, com a de nição de matriz, suas classi cações, operações e suas propriedades. De nição : Denominamos matriz do tipo m x n ( m N e n N ) a toda tabela composta por m:n elementos dispostos em m linhas e n colunas. A = a a a ::: a n a a a ::: a n a a a ::: a n..... a m a m a m ::: a mn Lê-se : Matriz A dos elementos a ij de ordem m x n. Observações: Podemos também escrever A = (a ij ) mxn, como A = [a ij ] mxn, e A = ka ij k mxn : Sendo A = (a ij ), onde a ij é um elemento genérico de A, devemos ter i m e j n.. Elementos de uma Matriz Os elementos de uma matriz genérica A são localizados de acordo com a linha e coluna que compõem esta referida matriz. Desta forma foi adotada a letra minúscula a para designar o elemento e i, j para localizar a linha e coluna, respectivamente, sendo i e j números naturais diferentes de zero. Logo, dada a matriz A, temos: A = (a ij ) mxn onde: A = Matriz A a ij = elemento situado na linha i e coluna j, com i; j N : m x n = ordem da matriz.

14 . Classi cação de Matrizes a) Matriz Unitária: São todas as matrizes que possui apenas um elemento, isto é, m = n =, [a ] b) Matriz Linha: São todas as matrizes A xn. c) Matriz Coluna: São todas as matrizes A mx. d) Matriz Nula (O mxn, ): São todas as matrizes A mxn, onde qualquer a ij é sempre igual a zero. e) Matriz Retangular: São todas as matrizes A mxn, onde m = n: f) Matriz Quadrada: São todas as matrizes A mxn, onde m = n. Neste caso dizemos que a matriz é de ordem n. Observação: Toda matriz quadrada possui duas diagonais (principal e secundária). A diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n é o conjunto dos elementos que tem os dois índices iguais, isto é: fa ij ji = jg = fa ; a ; ; a nn g : A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é o conjunto dos elementos que tem soma dos índices igual a n +, isto é: fa ij ji + j = n + g = fa n ; a ;n ; ; a n g :.. Matrizes Especiais Existem matrizes que apresentam maior utilidade, por esse motivo, recebem um nome especial. São elas: a) Matriz Diagonal: A matriz A = (a ij ) mxn tal que a ij = 0 para todo i = j, ou seja, é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Exemplo. Matriz Diagonal A = : b) Matriz Unidade ou Identidade: É toda matriz quadrada de orden n, indicada por I n = (a ij ) nxn, de modo que os elementos da diagonal principal (i = j) são iguais a (unidade) e todos os demais são nulos, ou seja:

15 , se i = j I n = (a ij ) = 0, se i = j : c) Matriz Triangular: É toda matriz quadrada de orden n, em que os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos (zero), isto é, a ij = 0 para i > j ou a ij = 0 para i < j: Exemplo. Matriz triangular inferior : Exemplo. Matriz triangular superior :.. Operações com Matrizes Adição de Matrizes: Sejam duas matrizes, A = (a ij ) mxn e B = (b ij ) mxn : A soma destas matrizes resulta em uma matriz C = (c ij ) mxn de modo que c ij = a ij + b ij, para todo i m e j n. Assim, temos: Exemplo. Dadas as matrizes A = Assim, A + B = A + B = C: 9 = e B = ( ) = : 0 9 :

16 Propriedades da Adição de Matrizes: Sendo A, B e C matrizes mxn, teremos as seguintes propriedades da soma de matrizes. a) Comutatividade: b) Associatividade: A + B = B + A: c) Elemento Neutro: (A + B) + C = A + (B + C): d) Elemento Oposto: O + A = A + O = A: A + ( A) = ( A) + A = O: Multiplicação de um número real por uma Matriz: Dado um número real k e uma matriz A do tipo mxn, o produto de k por A é uma matriz B, do tipo mxn, obtida pela multiplicação de cada elemento de A por k, ou seja, b ij = ka ij. B = k A Exemplo. A matriz B, obtida pela multiplicação de por A é 8 = 0 : 0 Multiplicação de Matrizes: Dadas duas matrizes A = (a ij ) mxn e B = (b jk ) nxp o produto de A por B, resulta na matriz C = (c ik ) mxp de modo que cada elemento c ik = a i b k + a i b k + a i b k + + a in b nk = nx a ij b jk : j=

17 Exemplo. Sejam A = C = C = C = e B = ( ) + + ( ) ( ) + + ( ) 0 Propriedades da Multiplicação de Matrizes: a) Associativa: A (B C) = (A B) C: b) Distributiva com relação à adição: c) Elemento Neutro: A (B + C) = A B + A C:. A matriz C = A B é A I n = I n A = A, onde I n é a matriz identidade de ordem n: d) Matriz Inversa: Dada uma matriz A quadrada, de ordem n, se existir uma matriz B; de mesma ordem, tal que A B = B A = I n. Dizemos que B é a matriz inversa de A e escrevemos B = A. Determinantes A seguir é apresentado o conceito de determinante de uma matriz quadrada A necessário para o desenvolvimento do trabalho e para mais detalhes sobre o assunto, as referências [], [], e [8] são indicadas.

18 . Classe de uma permutação De acordo com [] e [], uma permutação das letras a, b e c do nosso alfabeto é a própria ordem a b c e outras permutações das letras a, b e c são: acb, cab, bac, cba e bca. De nição : Seja S = f; ; : : : ; ng o conjunto de inteiros de a n, ordenados de maneira ascendente. A reordenação j j : : : j n dos elementos de S é chamada de permutação de S. Podemos considerar uma permutação de S como sendo uma função bijetora de S em si mesmo. Para obtermos permutações, podemos colocar qualquer um dos n elementos de S na primeira posição, qualquer um dos n elementos remanescentes na segunda posição, qualquer um dos n elementos remanescentes na terceira posição, e assim até a n esima posição, que pode ser preenchida pelo último elemento. Dessa maneira, há n (n ) (n ) : : : = n! permutações de S. Representamos o conjunto de todas as permutações de S por S n. Diz-se que dois elementos de uma permutação formam uma inversão se estão em ordem inversa à da permutação principal. Assim, na permutação dada acb, os elementos c e b formam uma inversão. Daí, uma permutação é de classe par ou de classe ímpar, conforme apresente um número par ou ímpar de inversões. Portanto, acb é de classe ímpar, pois possui apenas uma inversão. Se uma permutação é de classe par atribuiremos a ela o sinal de + e se ela for de classe ímpar o sinal de. Exemplo. S tem apenas uma permutação, logo é par pois não há inversões. Exemplo 8. Na permutação de em S, precede, precede, precede, precede e precede e precede. Dessa maneira, o número de inversões nessa permutação é, que é par.. Tabelas de permutações.. Tabela referente às permutações dos números e O total de permutações dos números e é P =! =. Logo, podemos formar a Tabela. 8

19 Permutação Principal Permutação Inversões Classe Sinal 0 par + ímpar Tabela : Permutações dos números e... Tabela referente às permutações dos números, e O total de permutações dos números, e é P =! =. Logo, podemos formar a Tabela. Permutação Principal Permutação Inversões Classe Sinal 0 par + ímpar par + ímpar par + ímpar Tabela : Permutações dos números, e... Determinante de uma matriz Chama-se determinante de uma matriz quadrada à soma algébrica dos produtos que se obtém efetuando todas as permutações dos segundos índices dos elementos da diagonal principal da matriz, xados os primeiros, e fazendo-se preceder os produtos do sinal + ou, conforme a permutação dos segundos índices seja de classe par ou de classe ímpar. De maneira formal, temos. De nição : Seja A = [a ij ] uma matriz quadrada de ordem n. De ne-se o determinante de A, indicado por det (A), por det (A) = X () a j a j : : : a njn 9

20 em que o somatório envolve todas as permutações j j : : : j n do conjunto S = f; ; : : : ; ng. O sinal de a j a j : : : a njn é + ou conforme a permutação j j : : : j n é par ou ímpar. Exemplo 9. Se A é a matriz de ordem, A = [a ], teremos somente a permutação principal. Assim, det (A) = a. Exemplo 0. Se A é a matriz de ordem, A = a a ; temos duas permutações a a em S : j e j, sendo que a primeira é par e a segunda é ímpar, conforme a Tabela. Assim, vamos proceder da seguinte forma: o ) Escrever os elementos que compõem a diagonal principal, um após o outro, somente com os primeiros índices (deixando lugar para colocar depois os segundos índices), tantas vezes quantas forem as permutações dos números e conforme Tabela. a a a a o ) Colocar nas duas expressões anteriores, como segundos índices, as permutações e, uma permutação em cada expressão e não necessariamente nessa ordem. a a a a o ) Fazer preceder cada um dos dois produtos assim formados dos sinais + ou, conforme a permutação dos segundos índices for de classe par ou de classe ímpar de acordo com a Tabela. +a a a a o ) Efetuar a soma algébrica dos produtos assim obtidos, onde se terá: det (A) = a a a a : a a a Exemplo. Se A é a matriz de ordem, A = a a a, temos seis permutações em S : j ; j ; j ; j ; j ; j, com seus respectivos sinais, conforme a Tabela. a a a Procedendo de forma análoga ao exemplo anterior, temos: 0

21 o ) Escrever os elementos que compõem a diagonal principal, um após o outro, somente com os primeiros índices (deixando lugar para colocar depois os segundos índices), tantas vezes quantas forem as permutações dos números, e conforme Tabela. a a a a a a a a a a a a a a a a a a o ) Colocar, nas seis expressões anteriores, como segundos índices, as permutações,,,, e, uma permutação em cada expressão e não necessariamente nessa ordem. a a a a a a a a a a a a a a a a a a o ) Fazer preceder cada um dos seis produtos assim formados dos sinais + ou, conforme a permutação dos segundos índices for de classe par ou de classe ímpar de acordo com a Tabela. +a a a a a a + a a a a a a + a a a a a a o ) Efetuar a soma algébrica dos produtos assim obtidos, onde se terá: det (A) = +a a a a a a + a a a a a a + a a a a a a que pode ser escrita como det (A) = a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a :

22 Diagonalização de Matrizes Começaremos de nindo vetores linearmente independentes (LI), transformação linear e operador linear. Para maiores detalhes sugerimos [] e [8] : De nição : Sejam V um espaço vetorial e v ; v ; ; v n V. Dizemos que o conjunto fv ; v ; ; v n g é linearmente independente (LI), ou que os vetores v ; v ; ; v n são LI, se a equação a v + a v + + a n v n = 0 implica que a = a = = a n = 0: De nição : Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação linear é uma aplicação de V em W, f : V! W que satisfaz as seguintes condições: i) Quaisquer que sejam u e v em V; f (u + v) = f (u) + f (v) ii) Quaisquer que sejam k R e v V; f (kv) = kf (v) Observação: Um operador linear sobre V é uma transformação linear f : V! V (é o caso particular de W = V ). Uma relação entre matrizes que é muito importante no estudo de operadores lineares e que também se torna importante no estudo de autovalores é a relação de semelhança de matrizes. De nição : Sejam A e B matrizes n x n. Dizemos que B é semelhante a A, se existe uma matriz invertível P tal que B = P AP. De nição : Uma matriz A nxn é dita diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal. Em outras palavras, uma matriz A nxn é diagonalizável se existem matrizes P nxn (invertível) e D nxn (diagonal) tal que A = P DP :

23 Assim, sendo P = v v. e D = como v n n A = P DP multiplicando P em ambos os lados, teremos AP = P DP P como P P = I e I é o elemento neutro da multiplicação de matrizes, então AP = P D A [v v v n ] = [v v v n ] n [Av Av Av n ] = [ v v n v n ] igualando, Av = v Av = v. Av n = n v n : Por de nição, dada uma matriz A nxn, um escalar é chamado autovalor e um vetor não nulo v R n é chamado autovetor de A se Av = v. Logo, mostramos que se uma matriz A nxn é diagonalizável, ou seja, se existem matrizes P e D tais que A = P DP então as colunas de P são autovetores linearmente independentes (LI), pois P é invertível, associados aos autovalores n, que são os elementos da diagonal de D.

24 Portanto, para determinar se uma matriz A é diagonalizável, precisamos determinar primeiramente seus autovalores e isso pode ser feito da seguinte maneira: Resolver a equação Av = v; que é equivalente a ou ainda, Av = Iv Av Iv = 0 ) (A I)v = 0: Assim, será um autovalor de A, se e somente se, o sistema homogêneo (A I)X = 0 possuir soluções não triviais. Mas isso acontecerá, se e somente se, det(a I) = 0. Cuja equação é um polinômio de grau n em. Os autovalores de A são as raízes deste polinômio. Este polinômio é conhecido como polinômio característico de A e denotaremos por p () = det (A I) : Observação: Para mais informações sugerimos []. Exemplo. Vamos determinar os autovalores da matriz A = Para essa matriz o polinômio característico é p () = det (A I ) = det : = ( ) = : Como os autovalores de A são as raízes de p (), teremos p () = 0 assim, Logo os autovalores de A são: = 0: = e = : Uma vez encontrados os autovalores da matriz, para encontrar os autovetores basta resolver o sistema linear homogêneo (A I)X = 0:

25 Assim, para = temos C A C A x x x y x y x y y y = = = = ou equivalentemente 8 >< >: x y = 0 x y = 0 : Cuja solução geral é v f(; ) ; R g ; que é o conjunto de todos os autovetores associados a =. Analogamente, fazendo o mesmo para = ; encontramos v f(; ) ; R g ; que é o conjunto de todos os autovetores associados a =. Teorema : Sejam A e B matrizes semelhantes. Então A e B têm o mesmo polinômio característico e, consequentemente, os mesmos autovalores. Demonstração: Sendo A e B matrizes semelhantes, existe uma matriz invertível P tal que B = P AP. Assim,

26 P B () = det (B I) = det P AP P IP = det(p (A I)(P )) = det(p ) det(a I) det(p ) = det(a I) = P A () : Onde P A () e P B () indicam respectivamente os polinômios característicos das matrizes A e B. Sendo os polinômios característicos iguais e como os autovalores são as raízes desse polinômio, segue que A e B têm os mesmos autovalores. Assim, podemos ver o conceito de diagonalização de matrizes, que dentre suas aplicações, temos: se uma matriz A é diagonalizável, suas potências são mais fáceis de serem calculadas. De fato, da equação A = P DP, temos A = P DP = P DP P DP = P D P P DP = P D P ; A = A A = P D P P DP = P D P P DP = P D P : De um modo geral temos, A k = P D k P ; para qualquer inteiro positivo k. E sendo a matriz diagonal D dada por D = ; n

27 temos que D k = k k : k n Agora que já sabemos encontrar os autovalores e os autovetores de uma matriz, podemos enunciar a seguinte propriedade. Propriedade : Se uma matriz A nxn tem n autovalores distintos, então ela é diagonalizável. Para maiores detalhes desta propriedade sugerimos [8]. matriz diagonal D = E vale lembrar que a n é formada pelos autovalores n de A em sua diagonal principal e a matriz P = v v. v n é formada pelos autovetores associados aos autovalores n. 0 Exemplo. Mostraremos que a matriz A = 9 é diagonalizável. 8 0 Vamos veri car se a matriz A tem três autovalores distintos, o que garante, pela Propriedade, que A e diagonalizável.

28 Seu polinômio característico é dado por 0 p () = det (A I ) = det = + + assim, resolvendo a equação, teremos det (A I ) = 0 ) + + = 0 = ; = e = : Portanto, todos os autovalores de A são distintos. Logo pela Propriedade a matriz A é diagonalizável e a matriz diagonal é dada por 0 0 D = 0 0 : 0 0 Para obtermos uma matriz P tal que A = P DP, precisamos encontrar os autovetores. Para = 0 ; teremos: x 0 0 C A y = 0 0 z 0 x 9 y = 8 0 z 0 0 ) : 0 Resolvendo o sistema, encontramos a solução geral v f(; ; ) ; R g : Logo, um autovetor associado ao autovalor = é v = (; ; ) : Analogamente, para = e = encontramos respectivamente os autovetores u f(; ; ) ; R g e w ; ; ; R e assim um autovetor associado ao autovalor = será u = (; ; ) e um autovetor associado ao autovalor = será w = (; ; ) : 8

29 Assim teremos, que a matriz invertível é dada por P = : Portanto, a matriz A é diagonalizável. A Propriedade, nos garante que se uma matriz A nxn tem n autovalores distintos, então ela é diagonalizável. E se esses autovalores não forem distintos? A resposta está no seguinte teorema: Teorema : Uma matriz A nxn é diagonalizável, se e somente se, a matriz A tem n autovetores linearmente independentes (LI). Demonstração: )) Suponha que A é diagonalizável, isto é, que exista uma matriz invertível P tal que D = P AP: Daí, AP = DP escrevendo P segundo suas colunas: P = [v ; v ; ; v n ] então e AP = [Av ; Av ; ; Av n ] DP = [ v ; v ; ; n v n ] : Comparando, concluímos que Av = v Av = v. Av n = n v n ; isto é, as colunas de P são os autovetores de A. Como P é invertível, suas colunas são LI, logo encontramos n autovetores LI para A. 9

30 () Sejam v ; v ; v ; : : : ; v n vetores linearmente independentes (LI). Então, A (v ) = v = v + 0v + 0v + + 0v n A (v ) = v = 0v + v + 0v + + 0v n A (v ) = v = 0v + 0v + v + + 0v n. A (v n ) = n v n = 0v + 0v + 0v + + n v n ; matricialmente, obtemos A (v n ) = v v. : n v n Vejamos um exemplo. 0 Exemplo. Vamos veri car que a matriz A = é diagonalizável. 0 Vamos determinar os autovalores de A. Seu polinômio característico e dado por 0 p () = det (A I ) = det = + + : 0 Assim, det (A I ) = 0 ) + + = 0 ) = : Logo, os autovalores são: = = (com multiplicidade ) e =. Agora, vamos encontrar os autovetores, para isso basta resolver (A I)X = 0: 0

31 Para = ; teremos: C A x y z x y z = = daí, 8>< >: x + z = 0 x + z = 0 x + z = 0 resolvendo o sistema, encontramos a solução geral v f(; ; ) = (0; ; 0) + (; 0; ) ; ; Rg : onde e não são nulos simultaneamente. Logo v = (; 0; ) e v = (0; ; 0) são vetores linearmente independentes (LI) associados ao autovalor = : Analogamente, para = ; encontraremos a solução geral w f(; ; ) = (; ; ) ; R g. Assim, w = (; ; ) é um autovetor associado ao autovalor = : Portanto a matriz A é diagonalizável e as matrizes P = 0 e D = são tais que A = P DP :

32 Tópicos de Cálculo Neste capítulo apresentaremos os conceitos básicos relativos ao cálculo diferencial e integral, tais como: derivada, polinômio de Taylor e polinômio de Maclaurin necessários para o desenvolvimento desse trabalho. Ressaltamos que alguns resultados não serão demonstrados, para mais detalhes sugerimos [].. Derivada de uma função De nição 8: Seja f uma função de nida em um intervalo aberto I e x 0 um elemento de I. Chama-se derivada de f no ponto x 0 o limite f (x) f (x 0 ) lim x!x 0 x x 0 se este existir e for nito. A diferença x = x x 0 é chamada acréscimo ou incremento da variável x relativamente ao ponto x 0. A diferença y = f (x) f (x 0 ) é chamda acréscimo ou incremento da função f relativamente ao ponto x 0 : O quociente y = f(x) f(x 0) x x x 0 recebe o nome de razão incremental de f relativamente ao ponto x 0 : Indicaremos a derivada de f no ponto x 0 por: f 0 (x 0 ) = lim x!0 y x ou f 0 f (x 0 + x) f (x 0 ) (x 0 ) = lim x!0 x quando o limite existir e for nito. Quando existe f 0 (x 0 ) dizemos que f é derivável no ponto x 0. Dizemos também que f é derivável no intervalo aberto I quando existe f 0 (x 0 ) para todo x 0 I: De modo geral, teremos f (n) f (n ) (x 0 + x) f (n ) (x 0 ) (x 0 ) = lim ; x!0 x desde que existam derivadas de ordem inferiores a n, isto é, se existir f (n ) (x 0 ).

33 . Polinômio de Taylor Muitas funções podem ser aproximadas por polinômios, facilitando assim alguns cálculos. Existem vários métodos para realizar essas aproximações, um dos mais usados vamos utilizar neste trabalho é o que envolve a Fórmula de Taylor, assim chamada em homenagem ao matemático inglês Brook Taylor (8 - ) e apresentaremos a seguir de nições e exemplos. De nição 9: Seja f uma função que possui derivadas f (n) de ordem n num intervalo aberto I e seja a um número xo em I. Então o polinômio de Taylor de n-ésimo grau da função f em a é uma função polinomial P n de nida por: P n (x) = f(a)+ f 0 (a)! (x a)+ f 00 (a)! (x a) + f 000 (a)! (x a) + + f (n) (a) n! Onde n é um número inteiro positivo e n! = n (n ) (n ). Escrevendo com a notação de somatório, temos que (x a) n : P n (x) = nx k=0 f (k) (a) k! (x a) k : O caso especial do polinômio de Taylor, obtido quando tomamos a = 0 é o chamado polinômio de Maclaurin, em homenagem ao matemático escocês Colin Maclaurin (98 - ). O polinômio de Maclaurin de enésimo grau para uma função f de acordo com a De nição 9 com a = 0, é dado por: P n (x) = f(0) + f 0 (0) x + f 00 (0) x + f 000 (0) x + + f (n) (0) x n!!! n! Assim, podemos aproximar uma função usando o polinômio de Taylor ou o polinômio de Maclaurin. Nos três exemplos a seguir, vamos fazer a aproximação das funções exponencial, seno e cosseno através do polinômio de Maclaurin. Exemplo. Seja f (x) = e x, assim: f (0) = e 0 = ; f 0 (0) = e 0 = ; f 00 (0) = e 0 = ; f 000 (0) = e 0 = ; f () (0) = e 0 = ; f () (0) = e 0 = : Logo, e x = + x + x! + x! + x! + + xn n! +

34 Exemplo. Seja f (x) = sen (x), assim: f (0) = sen (0) = 0; f 0 (0) = cos (0) = ; f 00 (0) = sen (0) = 0; f 000 (0) = cos (0) = ; f () (0) = sen (0) = 0; f () (0) = cos (0) = : Logo, sen(x) = x x! + x! + ( )n x n+ + (n + )! Exemplo. Seja g (x) = cos (x), assim: g (0) = cos (0) = ; g 0 (0) = sen (0) = 0; g 00 (0) = cos (0) = ; g 000 (0) = sen (0) = 0; g () (0) = cos (0) = ; g () (0) = sen (0) = 0: Logo, cos(x) = x! + x! + ( )n x n + (n)!

35 Exponencial de uma Matriz Sabemos calcular a exponencial de um número real, mas será que é possível calcular a exponencial de uma matriz? Neste capítulo, vamos mostrar que é possível determinar a exponencial de uma matriz quadrada. No Capítulo, vimos que para todo número real x e x = + x + x! + x! + x! + + xn n! + : A exponencial de uma matriz quadrada A de ordem n, denotada por e A ou exp (A) ; é de nida por X e A A n = n! n=0 = I + A + A! + A! + A! + onde I denota a matriz identidade de ordem n. Exemplo 8. Dada a matriz A = 0 0, vamos calcular e A : Primeiramente, vamos encontrar os autovalores de A. Seu polinômio cara-cterístico é dado por Assim, daí, p () = det (A I ) = det 0 det (A I ) = 0 ) ( ) ( ) = 0 = 0 e = ; = ( ) ( ) : os quais são os autovalores distintos da matriz A. Logo pela Propriedade a matriz A é diagonalizável e a matriz diagonal é dada por D = : Agora, vamos encontrar os autovetores, para = 0; 0 0 x y = 0 0

36 daí, x + y = 0 portanto a solução geral é v f(; ) ; R g : Logo, um autovetor associado ao autovalor = 0 é v = (; ) : Analogamente, para = encontramos os autovetores u f(; 0) ; R g e assim um autovetor associado ao autovalor = será u = (; 0) : Então teremos, que a matriz invertível é dada por P = 0 e sua inversa é Como P = 0 A = P DP ) A n = P D n P = A n = n n 0 0 ; 0 : n 0 ) temos: e A = e A = Portanto, e A = X n=0 A n n! P n n! n=0 = X n! n=0 P 0 0 e e 0 0. n n! n=0 n n 0 0 = = 0 0 e e : P n n! n=0 P n=0 0 0 n n! )

37 Seno e Cosseno de uma Matriz Neste capítulo, vamos mostrar um método para calcular o seno e cosseno de uma matriz quadrada. Como vimos nos Exemplos e, para todo número real x temos que: X ( ) n x n+ sen(x) = (n + )! n=0 = x x! + x! x! +, e X ( ) n x n cos(x) = = (n)! n=0 x! + x! x! +. Logo, dada uma matriz quadrada A de ordem n, o seno e o cosseno de A são de nidos por: X ( ) n A n+ sen (A) = (n + )! n=0 = A A! + A! A! +,. X ( ) n A n cos(a) = = I (n)! n=0 onde I denota a matriz identidade de ordem n. A! + A! A! + Neste trabalho vamos calcular o seno e cosseno de uma matriz quadrada de ordem Exemplo 9. Para a matriz A = por, calcular sen (A) e cos (A) : Primeiramente, encontrar os autovalores de A. Seu polinômio característico é dado p () = det (A Resolvendo a equação teremos, I ) = det = e = = ( ) = 0: que são os autovalores distintos da matriz A. Logo pela Propriedade a matriz A é diagonalizável e a matriz diagonal é dada por

38 D = 0 0 : Agora, vamos encontrar os autovetores, para = ; x y = 0 0 daí, x + y = 0 então a solução geral é v f(; ) ; R g : Logo, um autovetor associado ao autovalor = é v = (; ) : Analogamente, para = encontramos os autovetores u f(; ) ; R g e assim um autovetor associado ao autovalor = será u = (; ) : Então a matriz invertível é dada por P = e sua inversa é Como A = P DP ) A n = P D n P = daí, A n = A n A n = e ainda, A n+ = A n A = + n + n n + n P = + n + n n n n + n + n + n + n = = n+ + n+ = n + n n+ n+ + + n + n n n + : + n + n 8

39 Assim, sen (A) = X n=0 = = ( ) n A n+ (n + )! P n=0 P n=0 = X ( ) n (n + )! n=0 ( ) n ( n+ +) (n+)! ( ) n ( n+ ) (n+)! P n=0 P n=0 n+ + n+ ( ) n ( n+ ) (n+)! ( ) n ( n+ +) (n+)! sen () + sen () sen () sen () sen () sen () sen () + sen () ; n+ n+ + e ainda Portanto: cos(a) = X ( ) n A n = (n)! n=0 = = sen (A) = P n=0 P n=0 X n=0 ( ) n ( n +) (n)! ( ) n ( n ) (n)! ( ) n (n)! P n=0 P n=0 n + n ( ) n ( n ) (n)! ( ) n ( n +) (n)! cos () + cos () cos () cos () cos () cos () cos () + cos () n n +. sen () + sen () sen () sen () sen () sen () sen () + sen () e cos(a) = cos () + cos () cos () cos () cos () cos () cos () + cos () Agora que calculamos o seno e cosseno da matriz A = :, nada mais natural que a pergunta: Será que vale a relação fundamental, isto é, sen A + cos A = I? 9

40 Vamos veri car se é válida para a matriz A, temos: sen A = sena sena = sen () + sen () sen () sen () sen () sen () sen () + sen () sen () + sen () sen () sen () sen () sen () sen () + sen () 0 0 B [sen () + sen ()] C sen () sen () C A = + [sen () sen ()] +sen () sen () 0 0 sen () sen () C B [sen () sen ()] C A +sen () sen () + [sen () + sen ()] 0 sen () + sen () sen () 0 B +sen () + sen () B sen () sen () C A = +sen () sen () sen () sen () + sen () 0 0 sen () sen sen () + sen () sen () () C A B +sen () + sen () +sen () sen sen () sen () + sen () = sen () + sen () sen () sen () sen () sen () sen () + sen () = de modo análogo, sen () + sen () sen () sen () sen () sen () sen () + sen () cos A = cosa cos A = ; cos () + cos () cos () cos () cos () cos () cos () + cos () : C A 0

41 Então, sen A + cos A = sen () + sen () sen () sen () + sen () sen () sen () + sen () = cos () + cos () cos () cos () cos () cos () cos () + cos () 0 sen () + cos () +sen () + cos () 0 sen () + cos () [sen () + cos ()] = + + = 0 0 Portanto, para a matriz A = = 0 0 = I C A C A 0 sen () + cos () [sen () + cos ()] 0 sen () + cos () +sen () + cos () vale a relação fundamental, isto é, sen A + cos A = I: C A C A

42 Agora mostraremos que: Proposição : Se A é uma matriz quadrada diagonalizável, então sen A+cos A = I. Vamos fazer isso em duas etapas: a etapa: A é uma matriz diagonal. Seja 0 A =..... ) Ak = 0 n para todo número inteiro não-negativo k: Assim, k k n sena = = = X ( ) k A k+ (k + )! k=0 X k=0 P k=0 ( ) k k+ (k+)! ( ) k k+ n (k+)! ( ) k k+ (k+)! P 0 k=0 ( ) k k+ n (k+)! = sen sen n : Logo, A = ) sena = sen : 0 n 0 sen n De modo análogo teremos: 0 A =..... ) cos A = cos : 0 n 0 cos n

43 Assim, sen A + cos A = sen cos = 0 sen n 0 cos n sen + cos = 0 sen n + cos n = I 0 a etapa: A é uma matriz diagonalizável. Sendo A uma matriz diagonalizável, existe uma matriz invertível P tal que P AP é uma matriz diagonal D, isto é: 0 P AP =..... : 0 n Assim, A = P DP ) A m = P D m P para todo número natural m. Logo: X ( ) k A k+ sena = (k + )! k=0 X ( ) k P D k+ P = (k + )! k=0 " # X = P ( ) k D k+ P = P send P (k + )! k=0

44 e X ( ) k A k cos(a) = (k)! k=0 X ( ) k P D k P = (k)! k=0 " # X = P ( ) k D k P = P cos D P: (k)! k=0 Portanto, sen A + cos A = P sen D P + P cos D P = P sen D + cos D P como D é uma matriz diagonal e na a etapa já provamos que vale a relação fundamental para matrizes diagonais, segue que sen D + cos D = I e assim, sen A + cos A = P I P = I

45 Considerações Finais Os estudos realizados para o desenvolvimento deste trabalho nos garantiram a obtenção de ganhos signi cativos relacionados ao cálculo da exponencial, seno e cosseno de uma matriz quadrada.de ordem Apresentam-nos a importância do desenvolvimento de métodos que possibilitem a um professor de matemática trabalhar com a exponencial, seno e cosseno de uma matriz, com o auxílio da Álgebra Linear, oportunizando melhor entendimento por parte dos alunos do ensino médio e superior (primeiros anos), uma vez que os mesmos encontram-se habituados com cálculos algébricos. Acreditamos que se conseguirmos levar os alunos a construir melhor os conceitos, podemos doar um tempo maior para o planejamento de situações em que a aprendizagem seja efetiva. E por m, esperamos que este trabalho possa ser uma ferramenta para futuros estudos sobre matrizes.

46 Referências [] Boldrini, José Luis. Álgebra Linear. Editora Harbra, 980. [] Dante, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicaçõe, volume. Editora Ática, 00. [] Figueiredo, L. M.; da Silva, M. O. M. Notas da MA - Fundamentos de Cálculo. Profmat, 0. [] Gordon, Crystal Monterz. The Square Root Function of a Matrix. Georgia State University, 00. [] Iezzi, Gelson; Hazzan, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar. Atual Editora, 9. [] Kolman, Bernard; Hill, David R. Álgebra Linear com Aplicações. 9 o edição, Editora LTC, Rio de Janeiro, 0. [] Leithold, Louis, O Cálculo com Geometria Analítica.Volume. Editora Harbra, 99. [8] Steinbruch, Alfredo; Winterle, Paulo, Introdução a Álgebra Linear. Pearson Education do Brasil, 99.