Cálculo de Autovalores, Autovetores e Autoespaços Seja o operador linear tal que. Por definição,, com e. Considere o operador identidade tal que.

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1 AUTOVALORES E AUTOVETORES Dfiniçõs Sja um oprador linar Um vtor, é dito autovtor, vtor próprio ou vtor caractrístico do oprador T, s xistir tal qu O scalar é dnominado autovalor, valor próprio ou valor caractrístico do oprador linar T associado ao autovtor v Exmplos: 1) tal qu é autovtor d T associado ao autovalor, pois 2) tal qu é autovtor d T associado ao autovalor, pois é autovtor d T associado ao autovalor, pois Sja é um autovalor do oprador linar T O conjunto d todos os autovtors associados a juntamnt com o vtor nulo, é dnominado autospaço corrspondnt ao autovalor Cálculo d Autovalors, Autovtors Autospaços Sja o oprador linar tal qu Por dfinição,, com Considr o oprador idntidad tal qu Assim, Então, Pla dfinição d multiplicação por scalar m transformaçõs linars, Pla dfinição d adição d transformaçõs, Então, o vtor, dv prtncr ao núclo do oprador, isto é, Portanto, o oprador linar não é injtivo, consquntmnt, não é bijtivo, nm invrtívl O fato do oprador linar não sr invrtívl é quivalnt ao do dtrminant d sua matriz associada, dada uma crta bas, sr zro A quação, ond é a matriz idntidad d ordm n, é dnominada d quação caractrística O polinômio é dnominado polinômio caractrístico d T suas raízs m R são os autovalors do oprador linar T Exmplo: Sja tal qu considr a bas canônica do R 2 Assim, Então, 86

2 Logo, são os autovalors do oprador linar T Tndo ncontrado os autovalors, com Os autovtors são os vtors tais qu Considr uma bas A para o spaço vtorial V a quação matricial é a matriz nula d ordm, ond Substituindo cada autovalor ncontrado na quação matricial, obtém-s um sistma d quaçõs linars Rsolvndo-s cada um dsts sistmas, os autovtors associados a cada um do autovalors são obtidos, consquntmnt, os autospaços Exmplo: Sja tal qu com autovalors a bas canônica do R 2 Para : Para : Multiplicidad d Autovalors Sjam V um spaço vtorial, T um oprador linar m V, com, um autovalor dst oprador O númro d vzs qu aparc como um fator do polinômio caractrístico d T é dnominado d multiplicidad algébrica d, dnotado por A dimnsão do autospaço é dnominada a multiplicidad gométrica d, dnotado por Exmplos: Considrando a bas canônica do R 3 1) tal qu 87

3 O autovalor 2 ocorr duas vzs como raiz do polinômio caractrístico, su autospaço possui dimnsão igual a 2, Já o autovalor 8 ocorr única vz como raiz, 2) tal qu O autovalor 2 ocorr duas vzs como raiz do polinômio caractrístico, O autovalor 3 ocorr única vz como raiz, Diagonalização d Opradors Linars Dado um oprador linar xistm rprsntaçõs matriciais d T rlativas as bass d V Dntr stas rprsntaçõs, a considrada mais simpls é uma matriz diagonal Como a cada bas corrspond uma matriz, a qustão s rsum na obtnção d uma crta bas, cuja rprsntação matricial do oprador linar T m rlação a sta bas é uma matriz diagonal Assimsta bas diagonaliza o oprador linar T Sja V um spaço vtorial n-dimnsional um oprador linar O oprador linar T é dnominado um oprador linar diagonalizávl s xistir um bas A d V tal qu é uma matriz diagonal Esta bas é composta plos autovtors do oprador linar T Sja V um spaço vtorial n-dimnsional um oprador linar S xistm n autovalors distintos ntão o oprador linar T é diagonalizávl Exmplo: Sja o oprador linar tal qu a bas canônica do R 3 ntão Sndo uma bas d autovtors, S xistm autovalors distintos suas multiplicidads algébricas gométricas form iguais, isto é,, ntão o oprador linar T é diagonalizávl 88

4 Exmplo: Sja o oprador tal qu a bas canônica do R 3 ntão Sndo uma bas d autovtors, Exrcícios 1) Vrificar, utilizando a dfinição, s os vtors dados são autovtors: a) b) 2) Os vtors são autovtors d um oprador linar associados aos autovalors, rspctivamnt Dtrminar 3) Dtrminar o oprador linar cujos autovalors são associados aos autospaços 4) Dtrminar os autovalors os autovtors dos sguints opradors linars no R 2 a) b) 5) Dado o oprador linar T no R 2 tal qu ncontrar uma bas d autovtors 6) Vrificar s xist uma bas d autovtors para: a) tal qu b) tal qu c) tal qu 7) Sja tal qu Encontrar uma bas qu diagonaliz o oprador T 8) O oprador linar tal qu é diagonalizávl? 89

5 Rspostas 1) a) Sim b) Não 2) 3) 4) a) autovalors: 2 3 b) não possui autovalors rais 5) 6) a) b) Sim c) Não 7) Apêndic E Tormas Sja V um spaço vtorial n-dimnsional um oprador linar 69 S é um autovtor do oprador linar T associado ao autovalor ntão para todo, o vtor é também um autovtor d T associado ao autovalor 70 Sja um autovalor d T Então é um subspaço vtorial d V 71 Sjam os autovtors do oprador linar T associados, rspctivamnt, aos autovalors distintos ntr si Então são linarmnt indpndnts 72 Sjam autovtors do oprador linar T associados a autovalors todos distintos Então os autovtors são linarmnt indpndnts Corolário72: Sja um oprador linar V um spaço vtorial n-dimnsional S T possui n autovalors distintos ntão xist uma bas constituída por autovtors 73 Sjam V um spaço vtorial n-dimnsional um oprador linar S xistm n autovalors distintos ntão o oprador linar T é diagonalizávl 74 S xistm autovalors distintos para qualqur autovalor a multiplicidad algébrica for igual a sua multiplicidad gométrica, isto é, para todo ntão o oprador linar T é diagonalizávl Corolário74 S o oprador linar T é diagonalizávl para os autovalors ntão com 90