1) Determine o domínio das funções abaixo e represente-o graficamente: 1 1
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- Isabella Sintra Canedo
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1 ) Dtrmin dmíni das funçõs abai rprsnt- graficamnt: z + z 4.ln( ) z ln z z arccs( ) f) z g) z ln + h) z ( ) ) Dtrmin dmíni, trac as curvas d nívl sbc gráfic das funçõs: f (, ) f (, ) 6 f (, ) 6 f (, ) f (, ) f) f (,) 8 4 g) f (, ) 0 ; ; s (, ) s (, ) (0,0) (0,0)
2 ) Dtrmin s limits a sguir: ( 4)( + ) lim lim lim (, ) (0,0) (, ) (0,0) (, ) (,) ( ) + ( ) 4) Mstr qu lim P P f (, ) nã ist s : f (, ) ( ) P (0,0) f (, ) P (0,0) f (, ) 4 ( ) ( ) P (,0) f (, ) P (0,) f(, ) ( 4)( + ) ; ( ) + ( ) ; s s 4 4 P (,) 5) Para as funçõs abai calcul, cas ista, as drivadas parciais, ns pnts indicads: f(, ) ln(. ) ; P (,) f(, ) cs( +π ) ; P (0,) π π f(, ) arctg 4 ; P (, ) f(,, z) + (sn ) tan z ; P (4,, ) 4 4 ; s f(, ) ; P (,0) P (,) ; s 6) Cnsidr a funçã z. Mstr qu z z z.
3 7) Sja φ:ir IR uma funçã d uma variávl ral, difrnciávl tal qu φ'()4. Sja g (, ) φ( ). Calcul: g g (,) (,) 4 z 8) Cnsidr a funçã dada pr w + z, nd z f(, ). S (,) 4 f(,), w calcul (,) t 9) Sja f(, ) dt. Calcul: (, ) (,) 0) Sja f (, ) uma suprfíci P (,) D(f). Dtrmin a quaçã da rta tangnt à uma curva intrsçã dssa suprfíci cm plan : ; n pnt (,,/ ; n pnt (,,/ ) Uma placa d mtal aqucida stá situada m um plan d md qu a tmpratura T n pnt (,) é dada pr T(, ) 0( ). Dtrmin a taa d variaçã d T m rlaçã à distância, n pnt P(,) n sntid psitiv d i: OX OY ) A ára A da suprfíci latral d um cn circular rt d altura h rai da bas r é dada pr A π.r h + r. S r é mantid fi m cm, nquant h varia, ncntr a taa d variaçã d A m rlaçã a h, n instant m qu h 7cm. S h é mantid fi m 7cm, nquant r varia, ncntr a taa d variaçã d A m rlaçã a r, n instant m qu r cm. ) Uma fábrica prduz mnsalmnt unidads d um prdut A unidads d um prdut B, snd cust mnsal d prduçã cnjunta dad pr C (, ) unidads d A 000 d B rais. Num dtrminad mês, fram prduzidas 000 Calcul cust d prduçã nst mês. Dtrmin C C, nst mês. Usand rsultad d ítm, qu é mais cnvnint: aumntar a prduçã d A mantr a d B cnstant u a cntrári? Justifiqu. 4
4 4) Numa lja, lucr diári L é uma funçã d númr d vnddrs, d capital invstid m mrcadrias, ( m milhars d rais). Numa crta épca tm-s, L (, ) 500 ( 0 ) ( 40 ), m milhars d rais. Calcul lucr diári s a lja tm 4 vnddrs rais invstids. Calcul L n pnt (4,0) L, n msm pnt. É mais lucrativ aumntar númr d vnddrs d uma unidad mantnd capital invstid u invstir mais 000 rais mantnd númr d vnddrs? 5) Uma funçã f d é harmônica s sã harmônicas: + 0. Mstr qu as funçõs a sguir f (, ) ln f (, ) arctg 6) Snd z ln + sn cs, calcul z z. 7) Encntr a difrncial ttal para as funçõs: z a ) f (, ) arcsn f (,, z) + 8) Sja (, ) g(, ) f (,) 6 z f, nd f g sã funçõs difrnciávis. Sabnd-s qu f (,) 8, calcul as drivadas parciais d g n pnt (4,8). 9) Cnsidr f (, ) ln( ) + arctg( ). calcul (,). h f S g( u, v) uv+ v, h( u, v), h( 0,), ( 0,) ( 0,) 4, calcul. u v f h i) ( 0,) ii) ( 0,) u v 5
5 0) S w f ( at) + g( + at), cm f g dtadas d drivadas parciais sgundas, mstr qu w satisfaz a quaçã da nda z ) Sja f (,, z) g(, z ) β f w a t w.. Dtrmin valr da cnstant β, sabnd-s qu f + z f. z ) Usand drivada ttal, rslva s sguints prblmas: Num dad instant, cmprimnt d um lad d um rtângul é 6cm crsc à taa d cm/sg cmprimnt d utr lad é 0cm dcrsc à taa d cm/sg. Encntr a taa d variaçã da ára d rtângul, n dad instant. A altura d um cilindr rt d bas circular stá diminuind à taa d 0 cm/min rai stá aumntand à taa d 4 cm/min. Encntr a taa d variaçã d vlum n instant m qu a altura é 50cm rai é d 6cm. Em um dad instant, cmprimnt d um catt d um triângul rtângul é 0cm crsc à razã d cm/min cmprimnt d utr é cm dcrsc à razã d cm/min. Encntr a razã d variaçã da mdida d ângul agud pst a catt d cm d cmprimnt, n dad instant. ) S z é funçã d dfinida implicitamnt pla quaçã dtrmin z(,0). + ( z ) z, 4) Calcul ( u, ) snd dads: f (,), (, ) (, ) u é vrsr d (,4). f (,) arctg, ) (, ), ) ; ( u ( f(, ) ; (, ) (, ) u 5 i + j 5) Para cada funçã pnt indicad dtrmin: i) Um vtr unitári na dirçã da drivada dircinal máima. ii) O valr máim da drivada dircinal. f(, ) 7+ 4, P (, ) 6
6 f(, ) π sn, P (, ) 6) Ach um vtr nrmal a quaçã da rta tangnt a cada curva n pnt indicad:, P (,) - + 4, P (,) 7) Uma chapa d mtal aqucida stá situada m um plan d tal md qu a tmpratura T é invrsamnt prprcinal à distânciada rigm. S a tmpratura m P(,4) é d 00º, dtrmin a taa d variaçã d T m P na dirçã d vtr u i + j. Em qu dirçã sntid T crsc mais rapidamnt m P? Em qu dirçã a taa d variaçã é nula? 8) O ptncial létric V m um pnt P(,,z) num sistma d crdnadas rtangulars é dad pr V z. Dtrmin a taa d variaçã d V m P(,-,) na dirçã d P para a rigm. Dtrmin a dirçã sntid qu prduz taa máima d variaçã d V m P. Qual a taa máima d variaçã m P? 9) Encntr a quaçã d plan tangnt da rta nrmal a cada suprfíci abai, ns pnts indicads: + z 6 m P (,,) z 6 n pnt cuja prjçã n plan 0 é (,0,) cs() + sn(z) 0 m P (, π 6,-) + + z para g(,) m (,,) 0) Dada a suprfíci + z, dtrmin as quaçõs ds plans tangnts qu sã paralls a plan z 0. ) Ach s pnts da suprfíci z 0 para s quais s plans tangnts sã paralls as plans crdnads. ) Encntr vtr dirçã da rta tangnt n pnt dad da curva C qu é intrsçã das suprfícis: z + + 4z z 56, n pnt (,5, 6) z z z 6, n pnt (,,0) 7
7 ) Calcul as sguints intgrais itradas: dd 0 0 ( / ) dd 0 π 0 sn( )dd 0 dd 0 sn() dd 0 f) 4 0 ( / ) dd g ) 6 π π π/ 0 sn( )dd h) 0 0 cs() 4 sn ()dd 4) Calcul: 9 da, nd R é a rgiã d plan limitada pla circunfrência 9. R R sn.da, nd R é a rgiã d plan limitada plas rtas, / π. + R cs( ) da, nd R é a rgiã plana limitada plas rtas, π 0. 5) Encntr (pr intgraçã dupl, a ára limitada plas curvas: 9 9 6) Calcul d duas maniras da, nd R é a rgiã d plan limitada pr +. R 7) Encntr (pr intgraçã dupl, vlum d sólid: n ctant limitad pl plan z abai d plan z 4 acima d círcul 6 n plan. limitad pls cilindrs 4 + z 4 limitad pr z + + ; 0, 0 z 0. a b c situad n 0 ctant limitad pr z 4, 0. f) situad n 0 ctant limitad pr z 4, 0,. 8
8 Rspstas ) 9
9 ) 0
10 f) g) ) zr zr 4 5) f (P ) ( + ln ), f(p ) f (P ), f(p ) 0 f ( P ) ( P ), f f (P ), f(p ), fz(p ) 4 f (P ) 0, f(p ) 5, / f (P ) / f(p ) 4 7) 4-4 8) 7 9) 4 4 0) z 4 + z 6
11 ) ) π 67π ) 9000 ; Mantr B cnstant 4) R$ ,00 ;0 Invstir R$.000,00 7) d d ( z z z ) d + ( z z + z ) d + ( z + z ) dz g g f 7 h 8) (4,8) 0 (4,8) 9) (,) i) (0,) ii) (0,) 54 u v u 6 v ) β ) -cm /sg 840πcm/min -8/6rad/min ) z(,0) 0, 4) -/5 zr -6/69 ln π 5) i j ; 06 i j ; 4 + π π 4 + π 6) a ) i + j; 0 4i + j; ) ; (,-6) ; λ(4i - j ) ; λ 0 8) ; 4i 8j + 54k, z 9) + z 6; z 8; 4 z π z + c ) π + 8 πz 6π ; 6 z 8; (,,z) (,,0) + t(0,0,); t IR π 8 π z 0 ; (,,z) (,,) + t(,0, ); t IR 0) z z ) Nã ist plan tangnt à suprfíci parall a plan z 0. Os plans tangnts à suprfíci ns pnts (,,0) (,,0) sã paralls a plan 0. Os plans tangnts à suprfíci ns pnts ( 0,0,0) (,0,0) sã paralls a plan 0. 4 ) ( 66,07, ) (6,4, 6) 6 π ( ) 4 + ) 0 ln 8 cs() f) g) h) ln 864 π 45 4) 5) a ) 7 6) 5 8 7) 8 a ) 5 8 abc 0 f)
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