Exercícios sobre funções. x 2. c) f(x) = d) f(x) = 6 Para cada função f e g abaixo, determine f+g, f.g, fog, gof, fof e dê o domínio.

Transcrição

1 Eercícios sobre funções Prof. Méricles Thadeu Moretti MTM/PPGECT/UFSC Resolver e representar cada resposta na reta real. a) 5 3 b) 9 c) d) 3 + > + e) f) 4 > g) h) (+)(-3) = 0 i) < 0 j) ( - ) 0 k) 5 < 0 l) - > 0 m) 3 > 7 n) 4 + < 5 o) II + < p) I - 3I = I7-5I q) 5 r) < I+I < 4 f (a b) f (a b) Sendo ab 0, simplifique com as funções f seguintes: ab a) f() b) f() 3 c) f() d) f () f ( h) f () 3 Com as funções f do eercício anterior, simplique, h 0. h 4 Dê o domínio das funções seguintes: a) f() = 3 b) f() = c) f() = d) f() = e) f() = f) f() = ( 3) g) f() = 3 h) f() = i) f() = log ( ) j) f() = log 5 ( ) k) f() = 5 Verifique se são iguais as funções f e g seguintes: a) f() = e g() =, 3, 3 b) f() = ( ) e g() = c) f() = e g() = d) f() = e g() = e) f() = e g() = f) f() = e g() = 6 Para cada função f e g abaio, determine f+g, f.g, fog, gof, fof e dê o domínio. a) f() = e g() = + b) f() = 3 e g() = c) f() = e g() = d) f() = e g() =. 7 Verifique se possuem inversas as funções g do eercício anterior. Em caso afirmativo, dê a epressão da inversa. 8 Considere a função y = 4. Redefina y de forma conveniente de tal modo que a nova função y admita inversa. Dê a epressão da inversa de y. 9 - Os vértices de um triângulo são os pontos A(-, 3), B(5, -4) e C(, 8). Calcular a inclinação em cada lado. 0 - Uma reta tem inclinação - e contém o ponto (-, 5). Determinar, nesta reta, a ordenada do ponto cuja abscissa é 8. Esboce o gráfico das funções: a) f() = b) f() = + 5 c) f() = + 5 d) f() = + 3

2 As tabelas a seguir contêm valores de uma função afim y? a) -3 0 / 5 7 y b) y Esboce o gráfico, dê o conjunto imagem e discuta os sinais das funções seguintes: a) y = + 4 b) y = c) y = + + d) y = - 4 Hachurar a região limitada pelas curvas em cada caso a seguir: a) y = e y = -. b) y = + 5, y =, y = - e y =. c) y = 3, y =, = 0 e =. d) y = + 5, y =, y = - e y =. e) y = e y = 4 f) y = 4 e y = 4. g) y = + 6, y = 3 e y = -/. h) y =, y = - e y = 4. 5 Transforme em produto as epressões: a) y = 4 b) y = c) y = 3 d) y = e) y = sen 3 + sen 5 f) y = cos 3 + cos 6 Dados f =, g = + 3 e h = 3 + 5, obtenha a e b tais que h = af + bg. 7 Nos itens a seguir, dividir f por g. a) f = , g = 3 + b) f =, g = + 8 Em cada caso dê o resto da divisão de a) por ( ) b) + + por ( + ) c) por ( + ) d) k + - por ( + k), k const. 9 Simplificar as epressões seguintes a) (a - + b - )(a + b) - n4 3 n a a a b) 4 n a a c) ( n + n- )(3 n 3 n- ) 0 Resolver a) 5 = 4 b) = 3 + c) = 9 d) log 4 (3 + ) = log 4 ( + 5) e) log 5 (4 3) = f) log 5 ( 6) log 5 Sabendo que cossec = - 3 e 4, calcule as demais funções circulares de. Mostre as identidades: a) ( + cotg )( cos ) = b) tg + cotg = sec. cossec c) sen(a + b). sen (a b) = cos b cos a cos coy sen sen y d) sen sen y cos y cos 3 Discutir as igualdades ou as equivalências seguintes. Inicie verificando com casos numéricos. ln a) ln( ) b) y ln y y y c) cos = sen d) y. y 3 3 e) y y f) y y g) y y h) ln()ln(y) ln ln y 4 Verificar a validade das proposições seguintes: a) (R, = ) b) (R, = ) c) (R, = 0) d) (R, + = ) e) (R, +>) f) (R, = ) g) (R, = ) h) (R, +3= ) 5 Usar a calculadora para encontrar os valores das epressões a seguir e dar resposta com 5 casas decimais. Fazer os cálculos sem anotar qualquer valor intermediário. 3 senh( ) arg cosh() a) sen ( ) cos(7,5) b) tg( 3) sec( 4 ) c) sen( ) d) e log (88) e) log 0( log 0( 00 )) f) para 3 g) 6 6 para = h) 3 7 para = 3,5. i) 3 7 para = 3. 6 Usar a calculadora com a opção fração para encontrar os valores eatos das epressões a seguir. Fazer os cálculos sem anotar qualquer valor intermediário.

3 a) 7 b) ( ) c) 4 ( ( ( ))) d) ( ) ( ) É sabido que 00g de soja seca contém 35g de proteínas e que 00g de lentilha seca contém 6g de proteína. Homens de estatura média, vivendo em clima moderado, necessitam de 70g de proteína na sua alimentação diária. Suponhamos que um homem queira adquirir estas 70g de proteínas alimentando-se de soja e/ou lentilha. Considere a quantidade diária de soja e y a quantidade diária de lentilha ( e y em unidades de 00g). Qual é a relação entre e y? Represente todas as formas possíveis para que um indivíduo possa consumir as 70g de proteínas necessárias. 8 Em uma casa que presta serviços de fotocópias a seguinte tabela está fiada: de até 0 R$ 0,0 por cópia de até 50 R$ 0,5 por cópia acima de 50 R$ 0,0 por cópia a) Qual o preço a ser pago para 00 cópias? b) Determinar o preço para n cópias. c) A solução encontrada no item anterior define uma função? Qual o seu domínio? Representá-la graficamente. 9 O envio de um pacote pelo correio custa R$ 5,00 e é feito com selos de reais e 3 reais. Seja o número de selos que custa reais e y o número de selos a 3 reais. a) Mostrar que y é uma função afim de b) Representar graficamente y em função de c) Encontrar, graficamente, todas as formas de enviar o pacote. 30 Duas locadoras de automóveis praticam o preço seguinte: Locadora A: pagamento de 00 reais e mais reais por quilômetro rodado Locadora B: pagamento de 400 reais e mais,50 reais por quilômetro rodado. a) Epressar, em função do número de quilômetros rodados, o preço f() pago a Locadora A e o preço g() pago a Locadora B. b) Qual é a natureza das funções f e g? c) Representar graficamente f e g (considerar sobre o eio das abscissas, cm correspondente a 00km e sobre os eios das ordenadas, cm correspondentes a 00 reais) d) Comparar os preços praticados segundo o número de quilômetros rodados. 3 Dois recipientes contendo líquidos diferentes se evaporam pouco a pouco. No gráfico abaio, representamos, em função do número de dias de evaporação, a altura, em mm, de líquido restante no primeiro recipiente pelo segmento AB e no segundo pelo segmento KL.. em mm 0 K 5 A 0 0 n de dias a) Para cada recipiente, indicar - a altura do líquido no início da eperiência - o número de dias necessário para que todo líquido se evapore b) Determinar graficamente, ao final de quantos dias, os dois líquidos estão com a mesma altura no recipiente. c) Determinar as equações de AB e KL e reencontrar os valores precedentes. d) Verificar qual dos líquidos a evaporação é mais rápida? L B

4 3 No Brasil, usamos frequentemente a escala Celsius ( C) para medir a temperatura. Em outros países, a temperatura é medida com a escala Fahrenheit ( F). Com estas unidades, o gelo se funde a 0 C ou a 3 F e a água ferve a 00 C ou a F (em condições normais de pressão). Sabendo-se que a representação gráfica da função que converte os graus Celsius em Fahrenheit é uma reta: a) Representar esta reta (colocar os graus Celsius na abscissa e os graus Fahrenheit na ordenada: tomar cm para cada 0 graus em cada eio). b) Determinar a equação desta reta. c) O papel queima a 45 F. Qual é a temperatura de combustão do papel em graus Celsius? 33 O gráfico a seguir representa o percurso de um móvel. km min a) Imaginar uma pequena história que possa ser ilustrada por este gráfico. b) Indicar, a partir do gráfico, a distância (em km) em função do tempo em minutos. c) O que representa a inclinação das retas? d) Esboce um gráfico da velocidade pelo tempo na situação acima. 34 O custo (em reais) de fabricação de um certo tipo de sapato é dado por P = 5 +, onde representa o números de pares de sapatos. A venda é dada por V = 3 e o lucro dado por L =V P. a) Esboçar os gráficos de P, V e L. b) Interpretar os gráficos acima. 35 Um projétil é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial de 45m/s. Sua distância e (em metros) do ponto de partida e sua velocidade v>0 (em m/s) em um instante t (em segundos) contado a partir do início, são dados pelas fórmulas: e = 45t - 9,8t v = 45-9,8t a) Representar graficamente sobre dois sistemas as funções e(t) e v(t). b) Depois de quanto tempo o projétil atinge o ponto culminante? c) Depois de quanto tempo ele repassa o ponto de saída? d) Qual é a altura do ponto culminante? e) Qual a velocidade do projétil no ponto culminante? f) Qual a velocidade do projétil no momento que ele repassa o ponto de partida? g) Dê os domínios teórico e eperimental da função e(t). 36 Uma pulga ao saltar, tem a sua posição h (em metros) descrita em função do tempo t (em segundos) e a velocidade v (em m/s) pelas fórmulas: h(t) = 4,4t - 4,9t e v = 4,4-9,8t. a) Representar graficamente sobre dois sistemas as funções h(t) e v(t). b) Depois de quanto tempo a pulga atinge o ponto mais alto? c) Qual é a altura do ponto mais alto atingido pela pulga? d) Qual a duração do salto? e) Qual a velocidade da pulga no ponto mais alto? f) Qual a velocidade da pulga no momento do salto? g) Dê os domínios teórico e eperimental das funções h(t) e v(t). (Adaptado de [, p.76]). 37 A potência útil P de uma pilha e a intensidade I de corrente gasta por esta pilha, em uma resistência regulável, são ligadas pela relação P = -0,3I +,5I. a) Traçar a curva representativa de P. b) Calcular os valores de I para os quais P = 0 e P =. 38 De todos os retângulos com perímetros iguais a 6m, qual deles têm a maior área?

5 39 O valor C de um capital (empregado a uma taa i de juros capitalizados periodicamente ao fim do período), após t períodos, é dado por C = C 0 ( + i) t, sendo C 0 o valor inicial. Qual é o tempo necessário para que um capital empregado à taa de % ao mês, com juros capitalizados mensalmente, dobre de valor? 40 A quantidade de madeira em uma floresta jovem cresce quase eponencialmente. Podemos admitir que a média anual é 3,5%. a) Que crescimento é esperado no prazo de 0 anos? b) Quanto tempo é necessário para que a quantidade de madeira dobre de valor? 4 A terra é aproimadamente uma esfera de km de circunferência. Imaginemos que um arame fosse enrolado em torno do equador de tal esfera. Agora aumentamos em 0m o comprimento requerido de km e enrolamos o arame novamente de forma que um espaço de medida constante é deiado entre a terra e o arame. Um camundongo seria capaz de passar entre o arame e a terra? 4 A Concentração de dióido de carbono livre na atmosfera (na faia de 9 a km de altitude) foi de 33ppm (partes por milhão) em 960 e 3ppm em 970. Considerar o aumento linear afim e estimar a concentração de CO para o ano Um grande poluente produzido pela queima de combustíveis fósseis é o dióido de sulfídrico (SO ). Uma pesquisa realizada em Oslo, Noruega, demonstrou que o número N de mortes por semana, devido a este poluente, é uma função linear afim da concentração média C do SO dada por: N = ,03C, para 50 < C < 700. a) Esboçar o gráfico desta função. b) Determinar a imagem. 43 Uma área de 0ha deve ser plantada com trigo e batatas. Para evitar-se a monocultura é necessário que no máimo 70% da área cultivada sejam reservadas para o trigo ou batatas. Seja a quantidade de hectares plantados com trigo e y a quantidade correspondente para batatas. Determinar graficamente todos os pares (, y) que preenchem essas condições. 44 Qualquer que seja o número real, ele obedece à relação n < n +, sendo n um número inteiro. Diz-se que n é a parte inteira de e é denotada por E() = n. A partir dessa definição de E, calcular: Y = 99 log5 7 Esen 33 7 E E 4 E E 8 Respostas ) a) (-, 0) U (0/3, +) b) [-3, 3] c)[-, ½] d) (-, ) U (, +) e) (-, -3) U (, +) f) (-, -] U [, +) U {0} g) (-, ] U {} h){-/, 3/} i) (-, -)U(/3, +) j) (-, 0] U [/, +) k) (4/9, /) l) (-, -) U (, +) m) > 0 ou < -4 n) (0, 5) o) { } p) {/5, 8/9] q) {4/3, 3} r) (-6, -3) U (-, ) 4 a) 4 b) 6/a c) d) a(a b)(a b) a(a b )(a b ) 3 a) + h b) 3 c) ( h) d) ( h )( ) 4 a) b) - {} c) * d) - {, -} e) (-, -) U [, +) f) [0, /3] g) [, 3] h) [, +) i) (-, /) j) (-, ) k) Não é função 5 a) Não b) Não c) Sim d) Não e)sim 6 a) ++, ; ( +), ; +, ; 4 +, ; 4, b) -+3+, ; (-+3), ; 3-, ; -+3, ; -8+9, ; c) ( ) ( )( ( ),

6 d), ; ( ), [-, +);, [, +);, [-, +);, [-, +); e), [-, +);, [0, +);, ;, [0, +). 7 a) Não b) Não c) Sim, g - () = / d) Sim, g - () = + e) Não 8 y : [0, +) [-4, +) e y () = 4 ou y : (-, 0] [-4, +) e y () = Inc(A, B) = -, Inc(B, C) = -3, Inc(A, C) = 5/ a) Não b) Não 3 a) Im(y) = [-4, +); y < 0 em (-4, 0); y = 0 em {-4, 0}; y > 0 em (-, -4) e (0, +) b) Im(y) = (-, 4/8]; y < 0 em (-, ) e (, +); y = 0 em {, }; y > 0 em (, ) c) Im(y) = (-, ]; y < 0 em (-, - ) e (+, +); y = 0 em {-, + }; y > 0 em (-, + ) d) Im(y) = [-, +); y < 0 em (-, ); y = 0 em {-, }; y > 0 em (-, -) e (, +). 5 a) (-)(+) b) (+4)(-) c) (-)( ++) d) (+4)(-) e) sen(4).cos f) cos().cos 6 a = 3 e b =. 7 a) q = , resto = + - b) q =, resto = -. 8 a) 4 b) c) 6 d) -k+4k 3 9 a) /(ab) b) (a-)/a c) 6 n ln(( 5 ) ) 0 a) ln4/ln5 b) -ln3/ln(3/) c) d) 3 e) f) (-, -] U [4, +) ln( 3) sen= -4/5, cos = -7/5, tg = 4/7, cotg = 7/4, sec = -5/7 5 a),0547 b) -7,87346 c) 4,86 d) 406,374 e) 0,49880 f) g) -0,06593 h) i) a)-94/5 b) 30/70 c) 37/5 d)497/60 Bibliografia BATSCHELET, E. Introdução à Matemática para Biocientistas. São Paulo: Editora Interciência, 980. FLEMMING, Diva M. GONÇALVES, Mírian B. Cálculo A. São Paulo: Makron, 99. GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. (Volume, ª Edição). Rio de Janeiro: LCT, 985. KITCHEN JR., Joseph W. Calculus of one variable. Massachusetts: Addinson-Wesley, 968. THOMAS JR, George B., FINNEY, Ross L. Cálculo e geometria analítica. V. Trad. Denise Paravato. São Paulo: LTC, 988.