Matemática II 14 de Junho de 2010

Transcrição

1 Matemática II de Juho de 00 ª frequêcia UCP Gestão/Ecoomia Duração: h0m Perguta Cotação,0,0,0,0,0,5,5 GRUPO I. Cosidere o seguite problema de programação liear (P): ma z = com + 5 0, 0 a. Resolva o problema P graficamete. b. Escreva o problema dual de P. c. Usado os desvios complemetares determie a solução óptima do problema dual de P. d. Admita que P represeta um sistema de produção uma empresa, com dois produtos (correspodedo às variáveis e ) e três tipos de recursos (correspodedo à ª,ª e ª restrições), pretededo-se maimizar o lucro (epresso em u.m.). Com base os preços sombra diga qual é o valor máimo que a empresa deve pagar por uma uidade adicioal de cada um dos recursos.. Cosidere o seguite problema de Programação Liear: ma z = + com + 0, 0 a. Escreva a formulação a forma stadard (de forma a poder usar o algoritmo do simple). b. Utilize o algoritmo do simple e o método do big-m para resolver este problema.

2 GRUPO II. Uma empresa de bebidas capta água mieral em três ascetes (A, B, C). As capacidades mesais de produção as três ascetes (em hectolitros hl) bem como os lucros obtidos com a veda da água o mercado acioal (em euros por hectolitro) são idicados a seguite tabela: ascete A ascete B ascete C Capacidade de Produção (hl) Lucro por hl 5 Requere-se aida que pelo meos metade da água seja proveiete da ascete A. a. Supoha que as ecomedas de água para o próimo mês totalizam 000 (hl) e que deve ser egarrafada eactamete esta quatidade de água. Formule em Programação Liear o problema da determiação de um plao de produção óptimo. b. Supoha agora que, como em a), as ecomedas acioais para o próimo mês totalizam 000 (hl), mas que é possível eportar água da ascete A com um lucro de por hl. Altere a formulação obtida em a) de forma a cotemplar esta situação.. Calcule a soma das séries: a. b GRUPO III 5. Estude a covergêcia simples/absoluta das séries: ( )! a. b. (!) ( ) se log 5 6. Desevolva f ( ) log( ) em série de MacLauri idicado o itervalo de validade do desevolvimeto obtido. 7. Determie a por forma a que a série a seja covergete em e divergete em.

3 Resolução da ª frequêcia de Matemática II ( de Juho de 00) GRUPO I. Sol. Óptima : 0 0 z 0 (b) variáveis duais: u, u, u. mi w 0u u u s. a u u 5u u u u 0, u 0, u 0 (c) 0 u u 5 0 u 0 u 0 Logo, a solução óptima do problema dual é (u, u, u ) = (0,, 0) com w =. (d) A empresa deve pagar o máimo u.m. por cada uidade do recurso de tipo e zero u.m. por uidades adicioais dos restates recursos

4 . Mudaça de variável ma z M 5 s.a (b) ma 5 L ML z 0 0 M L ( M ) L z M M 0 M 0 M L L 0 0 L L0 L z 0 0 L L L 0 z Sol. Óptima: é (, ) = (6, 0) com z = 6 GRUPO II. A : quatidade de água egarrafada a ascete A (hl) B : quatidade de água egarrafada a ascete B (hl) C : quatidade de água egarrafada a ascete C (hl)

5 ma 5 s.a A B C (ma valor da veda ) (pelo meos metade da água vem de A) (eactamete 000 hl egarrafados) (b) A : quatidade de água egarrafada a ascete A, vedida o mercado acioal (hl) B : quatidade de água egarrafada a ascete B (hl) C : quatidade de água egarrafada a ascete C (hl) y : quatidade de água egarrafada a ascete A e eportada (hl) ma 5 y s.a y A B C 0 y A (ma valor da veda acioal + eportação) (pelo meos metade da água vem de A) ( 000 hl mercado acioal) y 500 (quatidade de água de A ão escede 500) / 5 5 /

6 (b) A B ( )( ) com A, B / / etão Megoli p lim lim GRUPO III 5. ( )! (!) critério de d Alembert u (( )!) ( )! ( )! ( )( )! (!)! lim lim lim ( )( ) u lim ( ) ( ) lim ( )( ) lim temos etão de decidir se este limite é ou. u lim lim ( ) ( ) lim ( )( ) u

7 6 lim diverge. uma vez que o umerador é maior que o deomiador, etão a série (b) ( ) se log 5 como está o ºQ e a série de módulos é se log 5 Compara-se etão com que é uma série covergete: se log se log 5 5 lim lim se lim lim lim log 5 que é fiito e diferete de zero, as séries comparadas têm a mesma atureza, portato a série de módulos é covergete e a série em estudo é Absolutamete Covergete. 6 0

8 6. f ( ) log( ) f (0) 0 f ( ) ( ) f (0) ( ) ( ) f (0) f ( ) ( ) f (0) f.. ( ) ( )! f ( ),,,... ( ) ( f ) (0) ( )!,,,... etão ( )! f ( ) log( ) !!! f( ) Usado o critério de Cauchy sobre a série de módulos: lim Itervalo de covergêcia:,. Se a série fica ( ) a série de módulo diverge mas pode cocluir-se usado o critério de Leibiz que a série em estudo é Simplesmete covergete. Se a série fica que diverge. Portato o domíio de covergêcia é, que é o domíio de validade do desevolvimeto de MacLauri.

9 7. Em a série é de Cauchy obtemos ( ) a. A série de módulos é a ( ). Aplicado o critério lim u a para ser covergete a, e se a a série é que é divergete como se pode mostrar comparado com ( ). ( ) se a a série é a série de módulos ( ) permite cocluir que a série é Simplesmete covergete. diverge mas o critério de Leibiz ( ) Portato, para a série coverge se a, D. a a Em a série é. A série de módulos é que é a série de módulos já ( ) estudada acima. O critério de Cauchy permite cocluir que é divergete em a,, Para a a série é ( ) que já vimos ser covergete ( ) Para a a série é que já vimos ser divergete, portato para a série é divergete se ( ) a,, D Etão para que a série seja covergete para e divergete para deve ter-se a D D, isto é a.