MAT CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV (IFUSP) Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira Período: Segundo Semestre de LISTA DE EXERCÍCIOS

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1 MAT 22 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV (IFUSP) Professor Oswaldo Rio Braco de Oliveira Período: Segudo Semestre de 2 4 LISTA DE EXERCÍCIOS Parte: Exercícios sobre o Capítulo 6.. Supoha que a série + a coverge absolutamete. Mostre que também covergem absolutamete as séries (a) a 2 (b) a +a, se a, N, (c) a2 +a Mostre que coverge codicioalmete a série + [ ( ) +i = 2]. 3. Sejam(a i ) I e(b j ) J duas famílias somáveis (I e J eumeráveis). Mostre (a i )(b j ) = a i b j. 4. Compute, para z <, +2z+3z 2 +4z Seja a m = ( )m+ m, com m, {,2,...}. Mostre que ão existe Porém, existem N N lim N + m== a m, a m. N N + + m== a m e + + =m= a m. 6. Roteiro para uma prova muito simples e muito fácil de que dadas + a = α e + b = β, duas series absolutamete covergetes, etão o produto de Cauchy, + c p, com c p = a b m, satisfaz + c p =αβ. +m=p (a) Supoha a e b positivos para todo N. Sejam s N e t N as N-ésimas somas parciais das séries + a =α e + b =β. Verifique: s N t N = (a +...+a N )(b +...+b N ) c +c +...+c 2N s 2N t 2N. Coclua que + c p =αβ (ote que c p, p). p=

2 (b) Supoha a,b R, para todo N. Sejam(p ) e(q ) as respectivas sequêciasdas partes positivas e egativas de a, N, e(p m ) e(q m ) as respectivas sequêcias das partes positivas e egativas de b m, m N. Portato temos a = p q e b m =P m Q m. Etão, desevolvedo e aplicado (a) obtemos ( + a )( + b m ) = ( + p + q )( + P m + Q m ) = ( + p )( + P m ) ( + p )( + Q m ) ( + q )( + P m )+( + q )( + Q m ) = + ( p P m ) + ( p Q m ) +m=p +m=p + ( q P m )+ + ( q Q m ) +m=p +m=p = + [ (p P m p Q m q P m +q Q m )].... +m=p (c) Desevolva o caso em que + z e + w m são séries complexas absolutamete covergetes. Sugestões: () Utilize as otações z =a +ib, com a e b em R, e w m =c m +id m com c m e d m em R. (2) Devido às desigualdades a z, b z, c m w m e d m w, as séries + a, + b, + c m e + d m covergem absolutamete. (3) Desevolvedo e aplicado o item (b) escreva ( + z )( + w m ) =( + a +i + b )( + c m +i + d m )= = ( + a )( + c m ) ( + b )( + d m ) + i( + a )( + d m ) + i( + b )( + c m ) = + ( a c m ) + ( b d m ).... +m=p +m=p 2

3 7. Mostre que se 2 z+cos 2 z=, z C. Sugestão: Utilize as defiições (por séries) das fuções sez e cosz. 8. Verifique a fórmula, ode N é ímpar e z,w C. (z+w) N = [( N 2++2m=N 2m )z2+ w 2m + ( N 2+ )z2m w 2+ ]. Sugestões: () Teste o caso N=5. (2) Troque a otação N ímpar por 2N+, se preferir. 9. Verifique a fórmula, para z e w arbitrários em C, sezcosw+coszsew=se(z+w). Sugestão: utilize as defiiçoes (por séries) para as fuções sez e cosz e o Exercício 8.. Dado θ R, verifique a validade das defiições de Euler para as fuções trigoométricas: cosθ= eiθ +e iθ 2, seθ= eiθ e iθ 2i. 3

4 2 Parte: Exercícios sobre o Capítulo 7.. Determie o domíio de covergêcia da série e esboce o gráfico de f: (a) f(x)= + = x (b) f(x)= + = x 2. Determie o limite f(x)=limf (x), x X, e mostre que a sequêcia(f ) ão coverge uiformemete a f, os casos abaixo. (a) f (x)= se(x) + 2 x 2, X=R. Dica: aalise o que ocorre os potos x = π 2. (b) x+, X=[,+ ). Dica: aalise o que ocorre os potos x =. (c) f (x)=( sex x ), se x e f ()=, ode X=R. (d) f (x)=( 2x 2 )e x2, com X=R. (e) f (x)= x2 +x 2, com X=R. (f) X=[,] e f (x)= ( )x, x x, x. 3. Mostre a covergêcia uiforme de(f ) em X R os casos abaixo. (a) f (x)= sex, ode X=R. 7 (b) f (x)=e x six, ode X=[,+ ). (c) f (x)=xe x2, ode X=R. 4. Determie o limite f(x)= lim + f (x), ode x [,], e mostre que lim + f (x)dx f (x)= ( lim + f (x))dx, supodo 2 x, x, 2 2 ( x), 2 x,, x. 5. Sedo f (x)= 2 x x 2, x [,], mostre que f coverge simplesmete a f (determie f) mas ão uiformemete. Aida assim, lim + f (x)dx= lim f (x)dx. + 4

5 6. Para cada, seja f (x)= x,x R. Cosideremos f(x)= lim x 2 + f (x). + (a) Determie o domíio de covergêcia da sequêcia(f ). Esboce os gráficos de f e das fuções f. (b) Acovergêciada sequêcia(f ) àfuçãof éuiforme sobrer? Esobreoitervalo [r,+ ),r>? 7. Para cada, seja f (x)= x + 2 x 4,x R. Cosideremos f(x)= lim + f (x). (a) Determie o domíio de covergêcia. Esboce os gráficos de f e das fuções f. (b) A covergêcia é uiforme sobre[, ]? Justifique. (d) Mostre que [ lim f (x)]dx lim + + f (x)dx. 8. Mostre que a série dada coverge uiformemete o itervalo dado. (a) e x = + x em[ r,r],r>. (b) + x! 2+, em[ r,r],<r<. = = 9. Mostre que a fução dada é cotíua. (a) f(x)= + cosx 3, x R. (b) f(x)= +, x [,+ ). = 4 2 = x 2. Sejam(a ) e(b ) duas sequêcias em R. Supohamos que F(x)= a [a cosx + b sex], x [ π,+π], = a covergêcia sedo uiforme. Mostre que: (i) a = π +π π F(x)cosxdx,. (ii) b = π +π π F(x)sexdx,, A série é acima é a série de Fourier de F e os úmeros a,, e b,, são os coeficietes de Fourier de F. 2. Determie os coeficietes de Fourier de (a) f(x)=x 2, π x π. (b) f(x)= x, π x π. 5